O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

6 Apêndice B - Topologia Elementar do R n
Por ser um espaço vetorial, e possuir uma estrutura métrica induzida pelo
produto interno usual, o espaço Euclidiano R n possui uma estrutura topológica que, dentre
outras coisas, nos permite definir certos tipos de conjuntos e estudar suas propriedades.
Definição 6.0.13. Sejam a, b pontos do R n . Denotamos por d(a, b) ∈ R a distância
do ponto a ao ponto b. No nosso contexo usaremos a distância euclidiana dada por:
|a − b| = n
i=1 (ai − bi) 2 , onde a = (a1, ..., an) e b = (b1, ..., bn).
Definição 6.0.14. Chamamos de bola aberta, bola fechada e esfera, de centro a ∈ R n e
raio r ∈ R, respectivamente aos conjuntos
B(a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) < r};
B[a, r] = {x ∈ R n : d(x, a) ≤ r};
S(a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) = r}.
Observação 6.0.5. Veja que a bola fechada é a união disjunta da bola aberta com a esfera,
isto é,
B[a, r] = B(a, r) ∪ S(a, r).
Definição 6.0.15. Uma topologia num conjunto U é uma coleção τ de partes de U,
chamados de abertos da topologia, com as seguintes propriedades:
1. ∅ e U pertencem a τ;
2. Se A1, · · · , An ∈ τ então A1 ∩ · · · ∩ An ∈ τ;
3. Dada uma família arbitrária (Aλ)λ∈L com Aλ ∈ τ para cada λ ∈ L, tem-se
λ∈L Aλ ∈
τ.
Diremos então que um espaço topológico é um par (U, τ), onde U é um conjunto
e τ é uma topologia em X. Entretanto, usaremos na maioria das vezes apenas o termo
espaço topológico, ficando subentendido a topologia τ. Ressaltamos ainda que apesar da
definição pertencer a um contexto mais geral da topologia, nosso interesse neste trabalho
se restringe aos espaços topológicos euclidianos.
64