O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 26
∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂(u, v)
= F (ϕ1(u(s, t), v(s, t))) · ×
∂u ∂v ∂(s, t) dsdt.
D2
Portanto, se Nϕ1 e Nϕ2 têm o mesmo sentido, pelo teorema (1.3.1), a integral acima
é igual a
D2
F (ϕ2(S, T )) ·
∂ϕ2
∂s
E se Nϕ1 e Nϕ2 possuem sentidos opostos, então
=
D2
∂ϕ2
(s, t) × (s, t) dsdt = (F · n)ds.
∂t ϕ2(D2)
∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂(u, v)
F (ϕ1(u(s, t), v(s, t))) · ×
D2
∂u ∂v ∂(s, t) dsdt =
∂ϕ2 ∂ϕ2
−F (ϕ2(s, t)) · (s, t) × (s, t) dsdt = − (F · n)ds.
∂s ∂t ϕ2(D2)
Definição 1.3.9. Considere um campo vetorial F = (F1, F2, F3) com derivadas parciais
definidas num subconjunto aberto do R3 . Definimos o campo vetorial rotacional de F por
rotF = ∇ × F =
i
∂
∂x
j
∂
∂y
k
∂
∂z
∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1
= − , − , − .
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
F1 F2 F3
Definição 1.3.10. Seja S uma superfície parametrizada por ϕ(u, v), com (u, v) ∈ D. O
bordo ∂S de S é a curva de S correspondente por ϕ à fronteira de D.
Teorema 1.3.3. (Teorema de Stokes). Sejam S uma superfície orientada, parametri-
zada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D, onde D é uma região fechada do plano uv, limitada por uma
curva C 1 por partes, e ϕ uma função de classe C 2 num subconjunto aberto de R 2 contendo
D. Se F = (F1, F2, F3) é um campo vetorial de classe C 1 , definido num subconjunto aberto
de R3 que contém S, cujo bordo ∂S está orientado positivamente, então
(rotF · n)ds = F · dr.
S
Demonstração. Consideremos S parametrizada por ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
com (u, v) ∈ D, e ainda orientada com campo de vetore normais
onde
n =
∂ϕ
∂u
∂ϕ
∂u
∂ϕ
× ∂v
∂ϕ
× ∂v
∂S
,
∂ϕ ∂ϕ
×
∂u ∂v =
∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y)
, , .
∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v)