O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

3.1 Variedades Diferenciáveis 48
Portanto, a derivada direcional na direção do vetor v é um operador sobre
funções diferenciáveis que depende apenas de v. Por meio dessa propriedade podemos
definir o conceito de vetor tangente à uma variedade e, posteriormente definir um espaço
tangente à uma variedade diferenciável.
Consideremos um variedade diferenciável M n e D o conjunto das funções em
M n que são diferenciáveis em p, e escolha uma parametrização f : U ⊂ R n → M n em
uma vizinhança de p = f(0, · · · , 0). Então a curva α : I → M n , e uma função ϕ ∈ D
podem ser escritas respectivamente como
Então, por (3.2) podemos escrever
f −1 ◦ α(t) = (x1(t), · · · , xn(t));
ϕ ◦ f(q) = ϕ(x1, · · · , xn), q = (x1, · · · , xn).
α ′ (0)ϕ = d
dt (ϕ ◦ α) t=0 = d
dt ϕ(x1(t), · · · , xn(t)) t=0 =
n
i=1
x ′
∂
i(0) ϕ. (3.3)
∂xi 0 0
Logo o vetor tangente α ′ (0) em p pode ser escrito como
α ′ n
(0) = x ′
∂
i(0) . (3.4)
∂xi 0
i=1
Estas considerações feitas anteriormente servem para podermos observar que,
chamando de TpM ao espaço tangente em p de uma variedade diferenciável M, então
a escolha de uma parametrização ao redor de p servirá para determinar uma base para
TpM, que de fato será um espaço vetorial. Detalhes a respeito desta construção podem
ser encontrados na referência [3].
De forma resumida, assumiremos a seguinte definição.
Definição 3.1.8. Seja M n uma variedade diferenciável e p ∈ M n . Chamaremos de espaço
tangente a M n
em p ao conjunto TpM. E a base ; i = 1, · · · , n para TpM será
chamada base associada à parametrização f.
∂
∂xi
Agora que definimos o espaço tangente à uma variedade, podemos definir a
diferencial de uma aplicação ϕ : M n 1 → M m 2 , utilizando destes conceitos.
Definição 3.1.9. Sejam M n 1 e M m 2 variedades diferenciáveis, e ϕ : M n 1 → M m 2 uma
aplicação diferenciável. Para cada p ∈ M n 1 , a diferencial de ϕ em p é a aplicação linear
dϕp : TpM n 1 → Tϕ(p)M m 2 ,
0