O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

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2.2 Formas Diferenciais 40 Demonstração. Inicialmente, notemos que dxi1 ∧· · ·∧dxik são linearmente independentes, pois tomando ai1,··· ,ik , i1 < i2 < · · · < ik, ij ∈ {i, · · · , n} de forma que i1
2.2 Formas Diferenciais 41 Denotando por I a k−úpla (i1, · · · , ik), então com o intuito de simplificar a notação, podemos denotar uma k−forma diferencial ω por ω = aIdxI. (2.7) I Por convenção, definiremos que uma 0−forma diferencial em R n será uma aplicação diferenciável f : R n → R. A partir de agora, por simplicidade, chamaremos uma k−forma diferencial simplesmente por uma k−forma, e o nosso objetivo será definir algumas operações envol- vendo tais formas, e estudar suas propriedades. Definição 2.2.11. Sejam ω e η duas k−formas em R n . Podemos definir a soma ω + η como, ω + η = aIdxI + bIdxI = (aI + bI)dxI I I Definição 2.2.12. Sejam ω uma k−forma e ϕ uma s−forma. Definimos o produto exterior de formas diferenciais ω ∧ ϕ como ω ∧ ϕ = aIbJdxI ∧ dxJ, IJ onde ω = I aIdxI, I = (i1, · · · , ik), com i1 < · · · < ik, e ϕ = J bJdxJ, J = (ii, · · · , ij), i1 < · · · < ij. Observação 2.2.3. De acordo com a definição de produto exterior, podemos ter uma k−forma ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk, onde cada ϕi é uma 1−forma, para i = 1, · · · , k, lembrando que ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk(v1, · · · , vk) = det(ϕi(vj)) Teorema 2.2.4. Sejam ω uma k−forma, ϕ uma s−forma, e θ uma r−forma, então, (i) (ω ∧ ϕ) ∧ θ = ω ∧ (ϕ ∧ θ); (ii) (ω ∧ ϕ) = (−1) ks (ϕ ∧ ω); (iii) ω ∧ (ϕ + θ) = ω ∧ ϕ + ω ∧ θ, se r = s. Demonstração. Sejam ω = I aIdxI, I = (i1, · · · , ik), i1 < · · · < ik, ϕ = J bJdxJ, J = (j1, · · · , js), com j1 < · · · < js e θ = L cLdxL, L = (i1, · · · , il), com i1 < · · · < il. (i) (ω ∧ ϕ) ∧ θ = aIbJdxI ∧ dxJ ∧ θ = aIbJcLdxI ∧ dxJ ∧ dxL = IJ IJL I
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