O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

5 Apêndice A - Diferenciabilidade 61
Teorema 5.0.7. Se f : R n → R m é uma função constante, então dfa = 0. E se f é uma
transformação linear, então df = f.
Demonstração. Basta observar que
|f(a + h) − f(a) − 0|
lim
h→0 |a|
|c − c|
= lim
h→0 |h|
= 0,
onde c ∈ R m é uma constante tal que f(x) = c para todo x ∈ R n .
E para o segundo caso,
|f(a + h) − f(a) − f(h)|
lim
h→0 |h|
|f(a) + f(h) − f(a) − f(h)|
= lim
h→0
|h|
Definição 5.0.9. Uma função f : R n → R m é dita diferenciável se é diferenciável em
todos os pontos do seu domínio.
Definição 5.0.10. Considere um aplicação f : R n → R m , a um ponto do R n e v um
vetor em R n . Definimos a derivada direcional de f na direção de v em a, como o vetor
Dvf(a) = lim
h→0
f(a + hv) − f(a)
.
h
O interesse especial das derivadas direcionais será quando v = ei, onde {ei; i =
1, · · · , n} é a base canônica do R n . E estas serão chamadas derivadas parciais de f.
Usaremos as seguintes notações equivalentes para as derivadas direcionais:
Dessa forma, sendo a = (a1, · · · , an), temos
∂f
∂xi
f(a + hei) − f(a)
(a) = lim
h→0 h
∂f ∂f
Deif(a), Dif(a), (a), .
∂xi ∂xi
a
= lim
h→0
= 0
f(a1, · · · , ai + h, · · · , an) − f(a1, · · · , an)
.
h
E percebe-se que ∂f
∂xi (a) é o resultado da derivada de f em relação à variável xi, mantendo
as outras constantes.
Naturalmente, temos as derivadas parciais de segunda ordem,
∂ ∂f
=
∂xi ∂xi
∂2f ∂x2 , ou
i
∂ ∂f
=
∂xi ∂xj
∂2f .
∂xi∂xj