O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 20
que define uma curva v na superfície. Se o vetor
∂ϕ
∂v (u0,
∂x
v0) =
∂v (u0, v0), ∂y
∂v (u0, v0), ∂z
∂v (u0,
v0)
é não nulo, então ele é um vetor tangente a esta curva no ponto ϕ(u0, v0).
vetor
Procedendo analogamente, definimos a curva u na superfície, e então, se o
∂ϕ
∂u (u0,
∂x
v0) =
∂u (u0, v0), ∂y
∂u (u0, v0), ∂z
∂u (u0,
v0)
é não nulo, ele é tangente à curva u em ϕ(u0, v0).
Quando N(u0, v0) = ∂ϕ
∂u (u0, v0) × ∂ϕ
∂v (u0, v0) é não nulo, N(u0, v0) é normal ao
plano gerado pelos vetores ∂ϕ
∂u (u0, v0) e ∂ϕ
∂v (u0, v0).
Definição 1.3.1. (Plano Tangente). Seja S uma supefície parametrizada por
ϕ : D ⊂ R 2 → R 3 . Suponhamos que ∂ϕ
∂u
e ∂ϕ
∂v sejam contínuas em (u0, v0) ∈ D. Se
N(u0, v0) = ∂ϕ
∂u (u0, v0) × ∂ϕ
∂v (u0, v0) é não nulo, dizemos que S é regular em ϕ(u0, v0) ∈ S.
Neste caso, definimos o plano tangente a S em ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) como sendo o plano
gerado pelos vetores ∂ϕ
∂u (u0, v0) e ∂ϕ
∂v (u0, v0), cuja equação é dada por
N(u0, v0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0
Uma superfície S = ϕ(D) é regular 5 se é regular em todos os pontos.
Considere agora uma superfície parametrizada
ϕ : D ⊂ R 2 → R 3
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Por simplicidade, e sem perda de generalidade, suponha que D seja um retângulo,
e considere uma partição regular de D de ordem n da seguinte forma:
Para cada i, j ∈ {0, 1 · · · , n − 1}, seja Rij o retângulo de vértices (ui, vj),
(ui+1, vj), (ui, vj+1) e (ui+1, vj+1).
∂ϕ
∂v (ui, vj) por ϕvj .
Para facilitar a notação, denotamos o vetor ∂ϕ
∂u (ui, vj) por ϕui , e analogamente
5 Intuitivamente dizemos que uma superfície regular não possui “bicos”.