O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 22
Quando a superfície S é definida explicitamente por uma equação da forma
z = g(x, y), onde (x, y) ∈ D então, sabendo que
∂z ∂z
×
∂x ∂y =
i
1
j
0
k
∂z
0 1
(x, y) ∂x ∂z
(x, y)
∂y
temos
S
fds =
S
f(x, y, g(x, y)) ·
1 +
= 1k − ∂g ∂g
j −
∂y ∂x i,
2 2 ∂g
∂g
(x, y) + (x, y) dxdy. (1.20)
∂x ∂y
Logo, se f(x, y, z) = 1 sobre S, a equação acima se reduz a
ds =
∂ϕ ∂ϕ
(u, v) × (u, v)
∂u ∂v
dudv, (1.21)
S
D
que é igual a área de S, e por essa razão o símbolo ds pode ser interpretado como um
elemento de área de superfície, e a integral de superfície fds é chamada de integral
de f com respeito ao elemento de área ds, estendida sobre a superfície S.[10]
Seja S uma superfície parametrizada, então à esta superfície estão associados
dois campos contínuos de vetores unitários n1 e n2 :
n1(ϕ(u, v)) =
∂ϕ
∂u
|| ∂ϕ
∂u
∂ϕ
(u, v) × (u, v) ∂v
(u, v) × ∂ϕ
∂v
S
(u, v)||,
(1.22)
n2(ϕ(u, v)) = −n1(ϕ(u, v)). (1.23)
Definição 1.3.4. Seja S uma superfície parametrizada. Dizemos que S está orientada
se fixarmos sobre ela um campo de vetores normais unitários da forma n1 ou n2.
Definição 1.3.5. Se F : S ⊂ R 3 → R 3 é um campo vetorial contínuo e n um dos campos
n1 ou n2, denotamos por Fn = F · n a função escalar que a cada ponto de S associa a
componente do campo F na direção do vetor n.
Definição 1.3.6. Seja F um campo vetorial contínuo definido numa superfície orientada
S parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D. Definimos a integral de superfície de F sobre S
por
S
S
F · ds = (F · n)ds =
S
S
Fnds.
Assim, pela definição de integral de superfície de função escalar obtemos, para
o caso em que n = n1,
(F · n)ds =
[F (ϕ(u, v)) · n(ϕ(u, v))]
∂ϕ ∂ϕ
(u, v) × (u, v)
∂u ∂v
dudv =
D