O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.3 O Teorema de Stokes 24
Definição 1.3.7. Sejam ϕ1(u, v), (u, v) ∈ D1, e ϕ2(s, t), (s, t) ∈ D2, duas parametrizações
de uma superfície orientada S. Dizemos que ϕ1 e ϕ2 são parametrizações equivalentes se
existe uma bijeção de classe C 1
G : D2 ⊂ R 2 → D1 ⊂ R 2
(s, t) ↦→ G(s, t) = (u, v) = (u(s, t), v(s, t)) ,
tal que ϕ1 (G(D2)) = ϕ2(D2) = S, isto é, ϕ2(s, t) = ϕ1(u(s, t), v(s, t)), (s, t) ∈ D2.
Definição 1.3.8. Considere uma aplicação definida por ϕ(s, t) = (u(s, t), v(s, t)), onde
u e v são funções de um subconjunto aberto U ⊂ R 2 em R. Definimos o determinante
Jacobiano da aplicação ϕ por
∂(u, v)
∂(s, t)
= det
⎛
⎝ ∂u
∂s
∂u
∂t
Teorema 1.3.1. Se ϕ1(u, v) e ϕ2(s, t) são parametrizaçãoes equivalentes de uma su-
perfície regular orientada então
onde
Nϕ1 = ∂ϕ1
∂u
Nϕ2 = Nϕ1
∂v
∂s
∂v
∂t
∂(u, v)
∂(s, t) ,
⎞
⎠ .
∂ϕ1
×
∂v e Nϕ2 = ∂ϕ2 ∂ϕ2
×
∂s ∂t .
Demonstração. Se ϕ1 e ϕ2 são parametrizações equivalentes, então existe uma bijeção
dada pela definição (1.3.7) tal que
Então 6
Logo
ϕ2(s, t) = ϕ1(u(s, t), v(s, t)).
∂ϕ2
∂s
∂ϕ2
∂t
= ∂ϕ1
∂u
= ∂ϕ1
∂u
∂u ∂ϕ1 ∂v
+
∂s ∂v ∂s ,
∂u ∂ϕ1 ∂v
+
∂t ∂v ∂t .
Nϕ2 = ∂ϕ2 ∂ϕ2
×
∂s ∂t =
∂ϕ1 ∂u ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ1 ∂u ∂ϕ1 ∂v
+ × + =
∂u ∂s ∂v ∂s ∂u ∂t ∂v ∂t
∂ϕ1 ∂u ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ1 ∂u
=
−
=
∂u ∂s ∂v ∂t ∂v ∂s ∂u ∂t
6 As derivadas parciais foram obtidas usando a regra da cadeia.