O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

2.2 Formas Diferenciais 38
Para cada espaço tangente R 3 p podemos associar o seu espaço dual, denotado
por (R 3 p) ∗ . Explicitamente,
(R 3 p) ∗ = {ϕ : R 3 p → R | ϕ é linear}.
Teorema 2.2.1. Considere a base canônica {(e1)p, (e2)p, (e3)p} de R 3 p. Defina a aplicação
xi por
para i = 1, 2, 3, onde x = (x1, x2, x3).
1, 2, 3}.
xi : R 3 → R
x ↦→ xi,
Nestas condições, o conjunto {(dxi)p; i = 1, 2, 3} será a base dual de {(ei)p; i =
Demonstração. De fato, basta observar que
(dxi)p(ej) = ∂xi
⎧
⎨ 1
=
∂xj ⎩ 0
se
se
i = j;
i = j.
Definição 2.2.3. Uma forma exterior de grau 1 em R 3 é uma aplicação ω, que associa a
cada ponto p ∈ R 3 um elemento ω(p) ∈ (R 3 p) ∗ . Pelo teorema anterior, podemos representar
uma forma exterior de grau 1 como
ω(p) = a1(p)dx1 + a2(p)dx2 + a3(p)dx3 =
3
ai(p)dxi.
Omitindo (p) na expressão, obtemos simplesmente a forma ω = 3
i=1 aidxi.
Definição 2.2.4. Considere a forma exterior ω = 3
i=1 aidxi. Se cada aplicação ai : R 3 →
R, i = 1, 2, 3, for diferenciável, ω é dita uma forma diferencial de grau 1.
Definição 2.2.5. Sejam ϕ1, ϕ2 ∈ (R 3 p) ∗ . Definimos a operação ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ Λ 2 (R 3 p) ∗ por
(ϕ1 ∧ ϕ2)(v1, v2) = det (ϕi(vj)) .
O elemento (dxi)p ∧ (dxj)p ∈ Λ 2 (R 3 p) ∗ será denotado por (dxi ∧ dxj)p. Além disso, temos
em particular que (dxi ∧ dxj)p = −(dxj ∧ dxi)p, e (dxi ∧ dxi)p = 0.
Teorema 2.2.2. O conjunto {(dxi ∧ dxj)p; i < j}, com i, j = 1, 2, 3, é uma base para
Λ 2 (R 3 p) ∗ .
i=1