O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

6 Apêndice B - Topologia Elementar do R n 68
Afirmamos que existe p ∈ ∩iBi. De fato, projetando cada Bi sobre o eixo j de
R n , j = 1, · · · , n, obtemos uma sequência de intervalos fechados
[aj1, bj1] ⊃ [aj2, bj2] ⊃ · · · ⊃ [aji, bji] ⊃ · · ·
Como (bji, aji) é arbitrariamnente pequeno, vemos que aj = sup{aji} = inf{bji} = bj,
donde aj ∈ ∩i[aji, bji]. Assim, p = (a1, · · · , an) ∈ ∩iBi, como afirmamos.
Observe que qualquer vizinhança de p contém algum Bi, para i suficiente-
mente grande, logo, ela contém um infinidade de pontos de K. Assim, p é um ponto de
acumulação de K, e como K é fechado, p ∈ K.
Seja U0 um elemento da família {Uα} que contém p, como U0 é aberto, existe
uma bola B(p, ε) ⊂ U0. Por outro lado, para i suficientemente grande, Bi ⊂ B(p, ε) ⊂ U0,
contrariando o fato de que nenhum Bi ∩ K pode ser coberto por um número finito de
elementos de {Uα}, e portanto temos que K possui uma subcobertura finita.
(2) ⇒ (3) : Suponha que A é um subconjunto infinito de K, e que nenhum ponto de K é
um ponto de acumulação de A. Então é possível, para cada p ∈ K, p ∈ A, escolher uma
vizinhança 3 Vp de p tal que Vp ∩ A = ∅, e para cada q ∈ A escolher uma vizinhança Wq de
q tal que Wq ∩A = q. Assim, a família {Vp, Wq}, p ∈ K \A, q ∈ A, é uma cobertura aberta
de K. Como A é infinito e a omissão de qualquer Wq da família deixa o ponto q sescoberto,
a família {Vp, Wq} não tem uma subcobertura finita, e isso contradiz a afirmação (2).
(3) ⇒ (1) : De fato K é fechado, pois se p é um ponto de acumulação de K, tomando
bolas concêntricas B(p, 1
i ) = Bi, obtemos uma sequência
p1 ∈ B1 − B2, p2 ∈ B2 − B3, · · · , pi ∈ Bi − Bi+1 · · ·
E essa sequência p como ponto de acumulação, e logo p ∈ K.
Corolário 6.0.2. Todo subconjunto A ⊂ R n é compacto se, e somente se é fechado e
limitado.
Corolário 6.0.3. Todo subconjunto fechado de um conjunto compacto em R n é compacto
Teorema 6.0.13. Se A é um subconjunto compacto de R m e B é um subconjunto compacto
de R n , então A × B é um subconjunto compacto de R m+n .
3 Trata-se de uma bola aberta com centro em p.