O Teorema de Stokes em Variedades - Fernando UFMS/CPAq

1.1 Integrais de linha 11
F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial contínuo 2 definido em
C. Definimos a integral de linha de F ao longo de C por
C
F · dr =
b
a
(F (σ(t)) · σ ′ (t))dt.
Lembrando que F = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) e σ(t) = (x(t), y(t), z(t)),
e usando suas componentes, a equação acima obtém a seguinte forma:
C
F · dr =
que comumente é simplificada para
b
F1(σ(t))x
a
′ (t)dt + F2(σ(t))y ′ (t)dt + F3(σ(t))z ′ (t)dt, (1.6)
C
F · dr =
C
F1dx + F2dy + F3dz. (1.7)
Se a curva C é fechada a integral de linha é denotada por
C
F · dr. (1.8)
Podemos adaptar a definição (1.1.2) para uma integral de linha de função
escalar da seguinte forma.
função
Sejam f : R 3 −→ R uma função real e C uma curva em R 3 , definida pela
σ : I[a, b] −→ R 3
t ↦→ σ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Dividimos o intervalo I = [a, b], como feito anteriormente, por meio de uma
partição regular, obtendo uma decomposição de C em curvas Ci definidas em [ti, ti+1].
Supondo que σ(t) é de classe C 1 , e denotando por ∆Si o comprimento da curva
Ci, tem-se, pela fórmula do comprimento de arco
∆Si =
ti+1
ti
||σ ′ (t)||dt. (1.9)
Pelo teorema do valor médio para integrais, existe ui ∈ [ti, ti+1] tal que ∆Si =
||σ ′ (ui)||(ti+1 − ti) = ||σ ′ (ui)||∆ti, onde ∆ti = ti+1 − ti.
2 Um campo vetorial F será contínuo se cada função coordenada Fi for contínua.