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Educação no Século XXI - Volume 39 – Matemática, Química, FísicaHĈB = α − ( π 2 − t ) = R r t − π 2R + r+ t = t − π r 2Logo, as coordenadas do ponto B’’ são dadas por:x = (R + r) cos t + r ⋅ sen (R+rr{ t − π ) 2y = (R + r)sen t − r ⋅ cos ( R+rt − π )r 2Usando as relações trigonométricas do seno e cosseno da diferença, chegamos às coordenadas do pontoB’’, que descreve a curva epiciclóide, através de suas equações paramétricas:{x = (R + r) cos t − r ⋅ cos ( R + r t)ry = (R + r)sen t − r ⋅ sen ( R + r t)rPara uma comparação gráfica entre a representação da equação paramétrica e a construção feitaanteriormente, basta usar o comando “curva” na caixa de entrada do Geogebra, inserindo as equações orademonstradas.4.RESULTADOS E DISCUSSÃONa construção da epiciclóide apresentada, temos a habilitação de alguns controles deslizantes. Oscontroles deslizantes R e r permitem que sejam modificados os raios das duas circunferências tangentes. Ocontrole deslizante n permite que seja definido o número de voltas em que a circunferência de raio r girapor fora da circunferência fixa de raio R. O controle deslizante s descreve o arco na circunferência fixa deraio R pelo movimento da circunferência de raio r, através do ponto de tangência das circunferências. Estecontrole também é utilizado para visualizar a construção da curva epiciclóide ao ser variado.Destacamos ainda que os arcos (l) se relacionam com o ângulo central (α) e o raio da circunferência(r)através da relação α = l . Como arcos de circunferência são medidos em radianos, foi habilitado umrparâmetro k, que representa como dito antes, o valor de s em radianos; tal parâmetro foi necessário paraque fosse possível computar arcos de circunferência que tivessem, em comprimento, valores maiores queo comprimento da circunferência fixa relativo a uma volta, relacionado com ângulo central de medidamaior que 360º.Algumas epiciclóides não têm o seu traçado completo com apenas uma volta da circunferência de raio rsobre a circunferência fixa. Daí a necessidade de uma construção que garantisse que um maior número devoltas fosse possível; o controle n permite definir a quantidade dessas voltas. Importante tambémdestacar que se a razão entre os raios R é um número racional, a curva é sempre fechada; fato que tambémrnos sinaliza a necessidade de se ter mais voltas sobre a circunferência fixa. Na construção proposta, arazão supracitada sempre é um número racional e com raios inteiros. Modificando-se o incremento doscontroles deslizantes r e R para valores não inteiros, podem-se construir circunferências de raiosracionais, também não inteiros.Importante salientar que, ao iniciar o estudo das referidas curvas, os alunos acreditavam que o processodinâmico de construção só seria possível programando novas ferramentas no Geogebra quepossibilitassem a construção das curvas. Ao final do processo foi constatado que, utilizando os conceitosmatemáticos de definição da curva, aliado às ferramentas pré-definidas do Geogebra, foi possível arealização da completa da atividade que aqui foi apresentada.86
Educação no Século XXI - Volume 39 – Matemática, Química, FísicaEste fato fortaleceu o desenvolvimento do projeto, bem como despertou o interesse por parte dosenvolvidos em realizar novas construções considerando o estudo de objetos matemáticos.5.CONSIDERAÇÕES FINAISO projeto de extensão que deu origem a este trabalho vem sendo desenvolvido com o intuito dedisseminar o uso das tecnologias de maneira corriqueira nos ambientes educacionais. Em suas primeirasversões o projeto fazia uma formação inicial básica com a apresentação das ferramentas básicas dosoftware, o que fazia com que fosse utilizada uma carga horária muito grande com formação básica epouca carga horária para a produção de material didático.Na edição em que este trabalho foi consolidado, o critério para participação do projeto era ter umconhecimento mínimo do programa Geogebra, ou de outros programas de software matemático,permitindo que a formação inicial básica se desse de maneira mais rápida e incluindo atividades nãopresenciais, favorecendo uma dedicação maior para a discussão das construções de materiais digitais nosencontros presenciais.Percebeu-se ao longo do processo que os alunos compreenderam as funcionalidades do programa,aplicando-as nas construções e roteiros que foram desenvolvidos, destacando o estudo de conceitosmatemáticos e inserindo tais conceitos para a realização das referidas construções.As atividades desenvolvidas, além de serem utilizadas nas aulas da graduação, são também utilizadas emprogramas de formação continuada de professores da rede básica de ensino nas cidades circunvizinhas aocampus da Universidade.É esperado que, em ações futuras deste projeto, se desenvolva um programa de implantação delaboratórios virtuais na rede pública de ensino, das cidades circunvizinhas, com um repositório dasatividades construídas ao longo das edições para estudo e aplicação na educação básica.REFERÊNCIAS[1] Brasil. Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Educação é a base. Brasília: MEC/CONSEDE/UNDIME, 2018.600p. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf[2] Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Secretaria deEducação Fundamental. Brasília: MEC, SEF, 1998. 148p. Disponível em:http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf[3] Caldas e Cardona, P.G. e E. Curvas clássicas planas e aplicações. Disponível em https://www.pucrio.br/ensinopesq/ccpg/pibic/.../Paula%20Galvão%20Caldas.pdf[4] Garbi, G.G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo:Editora Livraria da Física, 2006.[5] Grande, A.L. O estudo da ciclóide utilizando o software GeoGebra. XVI Ciaem. Chiapas, México, 2015.[6] Raposo, C.S.C.M. Curvas Famosas e não só: teoria, histórias e atividades. Dissertação de mestrado. Lisboa:Universidade de Lisboa, 2013.[7] Santos, A, F. Geometria Dinâmica: um blog dedicado às curvas planas. Trabalho de Conclusão de Curso.Licenciatura em Matemática. Santa Maria: UFSM – RS, 2014.[8] Silva, N. L. Caracterização de uma curva convexa pela curvatura. Monografia de conclusão de curso deespecialização em matemática. UFMG: Belo Horizonte, 2011.87
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