Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

Man sagt auch ¢ und £ \ ¢ liegen dicht in £ .
5.4. DIE REELLEN ZAHLEN 99
Beweis. Beginnen wir mit der archimedischen Eigenschaft. Sei A := {nx | n ∈ }. Wäre
die archimedische Eigenschaft nicht erfüllt, dann wäre y eine obere Schranke von A. Damit
wäre A nach oben beschränkt und hätte ein Supremum, £ weil die Supremumseigenschaft
besitzt. Sei α = sup A. Wegen x > 0 ist α − x < α, also ist α − x keine obere Schranke von
A. Somit existiert eine natürliche Zahl n mit α − x < nx. Dann ist aber α < (n + 1)x, ein
Widerspruch dazu, dass α obere Schranke von A ist. Also gilt die archimedische Eigenschaft.
Die Dichtheit ¢ von folgt direkt. Sei nämlich x < y und damit y − x > 0. Wegen der
archimedischen Eigenschaft gibt es eine natürliche Zahl n so, dass n(y − x) > 1 ist. Wir
können auch natürliche Zahlen m 1 und m 2 finden mit m 1 > nx und m 2 > −nx. Wir haben
jetzt
−m 2 < nx < m 1 ,
was die Existenz einer ganzen Zahl m impliziert mit
m − 1 ≤ nx ≤ m und − m 2 ≤ m ≤ m 1 .
Die Kombination aller dieser Ungleichungen liefert
nx < m ≤ 1 + nx < ny
x < m n < y,
wobei die letzte Ungleichung aus n > 0 folgt. Setzen wir q = m , so haben wir alles bewiesen,
n
was behauptet wurde.
Wenden wir das Argument zweimal an, so können wir rationale Zahlen q 1 und q 2 an mit
x < q 1 < q 2 < y. Wir definieren
r := q 1 + q 2 − q 1
√
2 > q1 .
2
Die Zahl r ist irrational, weil √ 2 irrational ist. Außerdem ist
q 2 − r = (q 2 − q 1 )(1 − 1 √
2
) > 0,
und deswegen gilt x < q 1 < r < q 2 < y.
□
betrifft das Wurzelziehen. Es folgt nämlich aus der Or-
Eine weitere Eigenschaft £ von
nungsvollständigkeit:
Proposition 5.4.7. Für alle a ∈ £ mit a > 0 und alle positiven n ∈ gibt es genau ein
x ∈ £ mit x > 0 und x n = a.
Beweis. Beweisen wir zuerst die Eindeutigkeit: Sind x ≠ y zwei Lösungen, so ist o.B.d.A.
x < y. Mit den Ordnungseigenschaften und vollständiger Induktion folgt dann für jedes
n ∈ , dass x n < y n , also x n ≠ y n .
Ist n = 1 oder a ∈ {0, 1}, dann ist die Aussage trivial.
Seien nun a > 1 und n ≥ 2. Dann definieren wir
A := {x ∈ £
| x > 0 ∧ x n ≤ a},
Weil 1 ∈ A liegt und ∀x ∈ A : x < a gilt (x ≥ a ⇒ x n ≥ a n > a), wissen wir, dass s = sup A
existiert.
Wir wollen jetzt beweisen, dass s n = a gilt.