Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...
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3.4. AXIOMATISCHE MENGENLEHRE 59<br />
Grundlage <strong>für</strong> die Axiomatisierung <strong>der</strong> Mengenlehre ist die Logik, und obwohl m<strong>an</strong> auch<br />
die Theorie <strong>der</strong> Aussagen (Aussagenlogik, Prädikatenlogik) formal exakt machen könnte,<br />
werden wir hier stoppen und die logischen Grundlagen naiv verwenden. Es sei nur festgehalten,<br />
<strong>das</strong>s alle auftretenden Zeichen Bedeutung <strong>in</strong> <strong>der</strong> Logik haben (auch =) mit <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zigen<br />
Ausnahme ∈, und <strong>das</strong>s ϕ und ψ beliebige Formeln bezeichnen, <strong>der</strong>en Variable <strong>in</strong> Klammern<br />
<strong>an</strong>gegeben werden.<br />
Mit Hilfe <strong>der</strong> ersten sechs ZFC Axiome k<strong>an</strong>n die gesamte endliche Mathematik konstruiert<br />
werden. Sie lauten wie folgt:<br />
ZF1: ∃x : (x = x) (Existenz)<br />
ZF2: ∀x : ∀y : ∀z : ((z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y) (Extensionalität)<br />
ZF3: ∀U : ∀p : ∀Z : ∀x : (x ∈ Z ⇔ (x ∈ U ∧ ϕ(x, p))) (Separation)<br />
ZF4: ∀x : ∀y : ∃Z : (x ∈ Z ∧ y ∈ Z) (Paare)<br />
ZF5: ∀F : ∃Z : ∀F : ∀x : ((x ∈ F ∧ F ∈ F) ⇒ x ∈ Z) (Vere<strong>in</strong>igung)<br />
ZF6: ∀U : ∃Z : ∀Y : (∀x : (x ∈ Y ⇒ x ∈ U) ⇒ Y ∈ Z) (Potenzmenge)<br />
Für die Formulierung <strong>der</strong> folgenden Axiome ist e<strong>in</strong> wenig Erklärung von Nöten, und<br />
außerdem müssen wir e<strong>in</strong>ige Abkürzungen e<strong>in</strong>führen. Das Axiom ZF1 stellt sicher, <strong>das</strong>s<br />
Mengen existieren, und ZF2 erklärt, <strong>das</strong>s zwei Mengen genau d<strong>an</strong>n gleich s<strong>in</strong>d, wenn sie<br />
dieselben Elemente haben. Mit Hilfe von ZF3 wird <strong>das</strong> erste Konstruktionsprizip <strong>für</strong> neue<br />
Mengen e<strong>in</strong>geführt, die Auswahl e<strong>in</strong>er Teilmenge Z aus e<strong>in</strong>er gegebenen Menge U mit Hilfe<br />
e<strong>in</strong>er ”<br />
Auswahlregel“ ϕ. Für diese Menge Z führen wir die Abkürzung {x ∈ U | ϕ(x)} e<strong>in</strong>.<br />
Weitere Abkürzungen seien die Formulierungen ∀x ∈ U, die <strong>für</strong> ∀x : x ∈ U stehe, und<br />
∃x ∈ U <strong>für</strong> ∃x : x ∈ U. ZF3 besagt <strong>in</strong> gewisser Art und Weise, <strong>das</strong>s m<strong>an</strong> <strong>für</strong> jedes Element<br />
e<strong>in</strong>er Menge überprüfen k<strong>an</strong>n, ob es e<strong>in</strong>e bestimmte Eigenschaft ϕ aufweist o<strong>der</strong> nicht. Das<br />
ist natürlich nur theoretisch möglich, weshalb dies schon von E. Bishop <strong>in</strong> [Bishop 1967]<br />
als Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Allwissenheit bezeichnet wurde.<br />
Aus ZF4 def<strong>in</strong>ieren wir {x, y} := {z ∈ Z | z = x ∨ z = y} und {x} := {x, x}. Das<br />
Vere<strong>in</strong>igungs–Axiom ZF5 ermöglicht es uns mit Hilfe von F = {X, Y } zu def<strong>in</strong>ieren<br />
X ∪ Y := {z ∈ Z | z ∈ Z ∨ z ∈ Y }.<br />
Drei weitere Symbole müssen wir e<strong>in</strong>führen, um die weiteren Axiome formulieren zu<br />
können. Es s<strong>in</strong>d dies <strong>das</strong> Leere Menge–Symbol ∅ := {z ∈ Z | ¬(z = z)} <strong>für</strong> e<strong>in</strong>e fixe Menge<br />
Z und S(x) := x ∪ {x}. Schließlich erklären wir <strong>das</strong> (uns bereits naiv bek<strong>an</strong>nte) Symbol ∃!<br />
durch folgende Abkürzungsvere<strong>in</strong>barung<br />
∃!y : ϕ(y) entspreche ∃y : ϕ(y) ∧ (∀y : ∀x : (ϕ(y) ∧ ϕ(x)) ⇒ x = y).<br />
Die drei nächsten Axiome s<strong>in</strong>d d<strong>an</strong>n:<br />
ZF7: ∃Z : ∀X : (∅ ∈ Z ∧ (X ∈ Z ⇒ S(X) ∈ Z)) (Unendlichkeit)<br />
ZF8: ∀U : ∀p : ( ∀x ∈ U : ∃!z : ϕ(x, z, U, p) ⇒<br />
∃Z : ∀x ∈ U : ∃z ∈ Z : ϕ(x, z, U, p) )<br />
(Ersetzung)<br />
ZF9: ∀x : ( ¬(x = ∅) ⇒ ∃y : (y ∈ x ∧ ¬∃z : (z ∈ x ∧ z ∈ y)) ) (Fundierung)<br />
Hier ist wie<strong>der</strong> e<strong>in</strong>iges <strong>an</strong> Erläuterungen von Nöten. ZF7 gar<strong>an</strong>tiert die Existenz e<strong>in</strong>er Menge<br />
mit den Elementen ∅, S(∅), S(S(∅)), . . . . Diese sche<strong>in</strong>bar schräge Konstruktion wird aber<br />
sofort verständlicher, wenn m<strong>an</strong> die Bezeichungen 0 := ∅, 1 := S(∅), 2 := S(S(∅)), und<br />
allgeme<strong>in</strong> n + 1 := S(n) e<strong>in</strong>führt.<br />
ZF8 hat die komplexeste Formel, doch dieses Axiom stellt nichts <strong>an</strong><strong>der</strong>es sicher als <strong>das</strong>s<br />
m<strong>an</strong> aus e<strong>in</strong>er Menge U und e<strong>in</strong>er Zuordnung f, die je<strong>der</strong> Menge x ∈ U e<strong>in</strong>e Menge y zuordnet,<br />
e<strong>in</strong>e weitere Menge als Bild von U unter f konstruieren k<strong>an</strong>n. Dieses Axiom rechtfertigt<br />
auch die Abkürzung {f(x) | x ∈ U} <strong>für</strong> die Def<strong>in</strong>ition e<strong>in</strong>er Menge.<br />
Das Fundierungsaxiom ZF9 zu guter Letzt schließt unter <strong>an</strong><strong>der</strong>em die Russellsche Ant<strong>in</strong>omie<br />
aus zusammen mit allen Mengen, die <strong>in</strong> gewissem S<strong>in</strong>ne zu groß“ s<strong>in</strong>d. Es werden<br />
”