Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

28 3. LOGIK, MENGENLEHRE
• Zuletzt stellen wir die UND Operation ebenfalls durch drei NAND Operationen dar
als a∧b = (a ¬ ∧ b) ¬ ∧ (a ¬ ∧ b). Überprüfen wir die Richtigkeit wieder mit Hilfe der Schaltwerttabelle:
a b a ¬ ∧ b (a ¬ ∧ b) ¬ ∧ (a ¬ ∧ b) a ∧ b
0 0 1 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
Eine wichtige Frage bei der technischen Herstellung von Schaltungen ist die folgende:
Es sei festgelegt, bei welchen Schalterstellungen welche Leitungen Strom führen sollen und
welche nicht; es sei also die Schalttafel gegeben. Was ist die einfachste Schaltung, die genau
diese Schalttafel hat?
Diese Frage zu beantworten ist nicht ganz einfach. Es ist sicher, dass es eine Schaltung
gibt, die der Schalttafel entspricht. Man kann sie auch immer konstruieren mit Hilfe der sogenannten
disjunktiven Normalform. Es sei also eine Funktion f gegeben, deren Wert 0 oder
1 ist und von den binären Variablen a 1 , . . . , a n abhängt. Möchte man eine Schaltung konstruieren
mit n Schaltern, die den Variablen entsprechen, die immer den Wert f(a 1 , . . . , a n )
ergibt, so folgt man dem folgenden Algorithmus:
(1) Stelle die Schaltwerttabelle mit den Variablen links und dem gewünschten Funktionswert
rechts auf.
(2) Streiche alle Zeilen, in denen f(a 1 , . . . , a n ) den Wert 0 hat.
(3) Ordne jeder der verbliebenen Zeilen eine UND-Verknüpfung von allen Variablen a i
zu, die in dieser Zeile den Wert 1 haben und von den Negationen ¬a j aller Variablen,
die in dieser Zeile den Wert 0 haben.
(4) Verknüpfe alle gerade konstruierten UND Glieder durch ODER Verknüpfungen.
Beispiel 3.1.2. Konstruieren wir die disjunktive Normalform zur Schaltwerttabelle
Die disjunktive Normalform ist dann
a b c f(a, b, c) UND-Verknüpfung
0 0 0 1 ¬a ∧ ¬b ∧ ¬c
0 0 1 0
0 1 0 1 ¬a ∧ b ∧ ¬c
0 1 1 1 ¬a ∧ b ∧ c
1 0 0 1 a ∧ ¬b ∧ ¬c
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1 a ∧ b ∧ c
f(a, b, c) = (¬a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (a ∧ b ∧ c).
Die disjunktive Normalform ist übrigens nicht die einzige Möglichkeit, zu einer gegebenen
Schaltwerttabelle eine Schaltung zu konstruieren. Es existiert zum Beispiel auch noch die
konjunktive Normalform, die sich grob gesprochen dadurch auszeichnet, dass sie eine UND
Verknüpfung von ODER-Ausdrücken ist. Konstruiert wird sie mit einem analogen (inversen)
Algorithmus:
(1) Stelle die Schaltwerttabelle mit den Variablen links und dem gewünschten Funktionswert
rechts auf.
(2) Streiche alle Zeilen, in denen f(a 1 , . . . , a n ) den Wert 1 hat.
(3) Ordne jeder der verbliebenen Zeilen eine ODER-Verknüpfung von allen Variablen a i
zu, die in dieser Zeile den Wert 0 haben und von den Negationen ¬a j aller Variablen,
die in dieser Zeile den Wert 1 haben.