Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

4.2. GRUPPEN 67
Nach Definition 4.2.4 können wir uns schon einmal fragen, welche Konsequenzen die
Existenz eines Einselements hat. Die ersten beiden Ergebnisse finden wir in den folgenden
Propositionen. Beim Beweis derselben, sowie bei den übrigen Beweisen in diesem Abschnitt
müssen wir genauestens auf die Eigenschaften achten, die wir verwenden dürfen. Einer der
beliebtesten Fehler in der Algebra ist, in Beweisen ohne zu zögern Eigenschaften der Verknüpfung
zu verwenden, die gar nicht erfüllt sind — also Achtung!
Die Stärke der mathematischen Strukturtheorie gilt es auszunützen. Wir wollen zum Beispiel
die interessante Frage beantworten, ob in all unseren Beispielen das angegebene Einselement
das einzige Element der Grundmenge ist, das die Neutralitätseigenschaft aufweist.
Um nicht jedes Beispiel einzeln untersuchen zu müssen, verwenden wir nur die Struktureigenschaften
für den Beweis.
Proposition 4.2.6. Ist (G, ◦) ein Gruppoid mit Linkseinselement e L und Rechtseinselement
e R , so besitzt G ein Einselement e, und es gilt e = e L = e R . Speziell folgt daraus, dass
das Einselement eines Gruppoides immer eindeutig bestimmt ist, falls es existiert.
Beweis. Es gilt e L = e L e R , da e R ein Rechtseinselement ist, und weil e L linksneutral
ist, haben wir e L e R = e R . Aus diesen Gleichungen sieht man aber sofort e L = e R . Setzen
wir e = e L = e R , so erhalten wir das gewünschte Einselement. Gäbe es zwei Einselemente e 1
und e 2 , so wäre jedes links- und rechtsneutral, und aus dem bereits gezeigten würde e 1 = e 2
folgen. Daher ist e eindeutig bestimmt.
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Das folgende Resultat ist ebenfalls wichtig.
Proposition 4.2.7. Ein (Links-, Rechts-) Einselement e eines Gruppoids (G, ◦) ist immer
idempotent. Ein Element g ∈ G heißt idempotent, falls g ◦ g = g gilt.
Beweis. Es gilt e ◦ e = e, weil e (Links-, Rechts-) Einselement ist.
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Nachdem Einselemente häufig anzutreffen sind, hat man Halbgruppen, die ein solches
enthalten, einen eigenen Namen gegeben.
Definition 4.2.8. Ist (G, ◦) eine Halbgruppe und existiert ein Einselement e ∈ G, so
nennt man G auch Monoid und schreibt (G, ◦, e).
Beispiel 4.2.9. Sowohl ( , +) als auch ( , ·) sind Monoide. Auch (¡ , +), (¡ , ·), (£ , +),
(£ , ·) sind Monoide, so wie (Abb(M), ◦) und T bzw. D aus Beispiel 4.1.1.
Die Menge (F P 2 , ⊕) ist kein Monoid. Sie besitzt zwar ein neutrales Element, hat aber
keine assoziative Verknüpfung.
W und S sind ebenfalls keine Monoide, weil sie kein neutrales Element besitzen. Wir
könnten aber durch Hinzufügung des leeren Hauptwortes bzw. des leeren Strichblockes Einselemente
in W und S definieren.
Auf diese Weise kann man übrigens aus jeder Halbgruppe durch Hinzufügen ( Adjungieren)
eines neutralen Elements ein Monoid machen.
Fahren wir fort, die verschiedenen Beispiele miteinander zu vergleichen. Vielleicht können
wir noch weitere Eigenschaften der Verknüpfungen isolieren.
Da stoßen wir übrigens auf ein wichtiges mathematisches Prinzip. Wir spüren eine Eigenschaft
auf, geben ihr einen Namen und machen sie so reif für eine Untersuchung. Kreative
Namensgebung ist bereits der erste Schritt zur erfolgreichen Behandlung einer Theorie. Die
Kreativität liegt dabei natürlich mehr darauf, was und nicht darauf wie etwas benannt wird
— meist jedenfalls. Hätte zum Beispiel der amerikanische Physiker die kleinen Teilchen, aus
denen die Elementarteilchen aufgebaut sind, nicht Aces genannt, wäre der Name George
Zweig heute berühmt und nicht der Name Murray Gell-Mann, der zur selben Zeit wie Zweig
die Theorie der Quarks entdeckt aber den erfolgreicheren Namen gewählt hat.