Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

80 4. ALGEBRA
K4: Sei a ∈ ¢ × ¢ gegeben. Wir definieren −a := (−a 1 , −a 2 ) ∈ ¢ × ¢ und berechnen
a + (−a) = (a 1 , a 2 ) + (−a 1 , −a 2 ) = (a 1 + (−a 1 ), a 2 + (−a 2 )) = (0, 0) = 0.
K5: Für alle a, b, c ∈ ¢ × ¢ folgt
(ab)c = ( (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) ) (c 1 , c 2 ) = (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 )(c 1 , c 2 ) =
= ( (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 )c 1 + 2(a 1 b 2 + a 2 b 1 )c 2 , (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 )c 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )c 1
)
=
= ( a 1 b 1 c 1 + 2a 2 b 2 c 1 + 2a 1 b 2 c 2 + 2a 2 b 1 c 2 , a 1 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 1 + a 2 b 1 c 1 + 2a 2 b 2 c 2
)
=
= ( a 1 (b 1 c 1 + 2b 2 c 2 ) + 2a 2 (b 1 c 2 + b 2 c 1 ), a 1 (b 1 c 2 + b 2 c 1 ) + a 2 (b 1 c 1 + 2b 2 c 2 ) ) =
= (a 1 , a 2 )(b 1 c 1 + 2b 2 c 2 , b 1 c 2 + b 2 c 1 ) =
= (a 1 , a 2 ) ( (b 1 , b 2 )(c 1 , c 2 ) ) = a(bc).
K6: Es seien wieder a, b ∈ ¢ × ¢ . Wir rechnen nach:
ab = (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) = (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ) =
= (b 1 a 1 + 2b 2 a 2 , b 1 a 2 + b 2 a 1 ) = (b 1 , b 2 )(a 1 , a 2 ) = ba.
K7: Wir definieren 1 := (1, 0) ∈ ¢ × ¢ . Klarerweise gilt 0 ≠ 1, und außerdem für
a ∈ ¢ × ¢
a1 = (a 1 , a 2 )(1, 0) = (a 1 1 + 0, 0 + a 2 1) = (a 1 , a 2 ) = a.
K8: Sei 0 ≠ a ∈ ¢ × ¢ gegeben. Wir definieren a −1 :=
(
a 1
a 2 1 −2a2 2
,
)
−a 2
. Es gilt
a 2 1 −2a2 2
a −1 ist für alle a ≠ 0 definiert. Zu diesem Zweck muss a 2 1 − 2a 2 2 ≠ 0 gelten. Das
folgende Argument beweist das: Sei a 2 1 = 2a 2 2. Dann gilt auch, falls a 2 ≠ 0 stimmt
(a 1 /a 2 ) 2 = 2. Die linke Seite dieser Gleichung ist das Quadrat einer rationale Zahl.
Das Quadrat einer rationalen Zahl kann aber niemals gleich 2 sein, da andernfalls
√
2 rational wäre. Folglich ist a2 = 0. Dann haben wir aber auch a 1 = 0 und damit
a = 0, was wir ausgeschlossen haben.
Es ist a −1 also für alle a ≠ 0 definiert. Nun können wir rechnen
aa −1 = (a 1 , a 2 )(a 1 /(a 2 1 − 2a 2 2), −a 2 /(a 2 1 − 2a 2 2)) =
= ( (a 2 1 − 2a 2 2)/(a 2 1 − 2a 2 2), 0 ) = (1, 0) = 1.
K9: Seien wieder a, b, c ∈ ¢ × ¢ . Auch das letzte Axiom ist eine längliche Rechnung:
ab + ac = (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) + (a 1 , a 2 )(c 1 , c 2 ) =
= (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + (a 1 c 1 + 2a 2 c 2 , a 1 c 2 + a 2 c 1 ) =
= (a 1 b 1 + a 1 c 1 + 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 , a 1 b 2 + a 1 c 2 + a 2 b 1 + a 2 c 1 ) =
= ( a 1 (b 1 + c 1 ) + 2a 2 (b 2 + c 2 ), a 1 (b 2 + c 2 ) + a 2 (b 1 + c 1 ) ) =
= (a 1 , a 2 )(b 1 + c 1 , b 2 + c 2 ) = (a 1 , a 2 ) ( (b 1 , b 2 ) + (c 1 , c 2 ) ) = a(b + c).
Wir haben also alle Eigenschaften nachgeprüft, und daher ist (¢ ×¢ , +, ·) wirklich ein Körper.