Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

92 5. ZAHLENMENGEN
können unter Verwendung von Theorem 5.1.8 rechnen
mk + S(n)l = ml + S(n)k
mk + nl + l = ml + nk + k
S(m ′ )k + nl + l = S(m ′ )l + nk + k
m ′ k + k + nl + l = m ′ l + l + nk + k
m ′ k + nl = m ′ l + nk.
Falls n ≠ m ′ gilt, dann können wir aus n ∈ M schon l = k folgern. Das ist aber der Fall,
weil S(m ′ ) = m ≠ S(n) vorausgesetzt war. Daher ist auch S(n) ∈ M und aus Korollar 5.1.2
folgt M = und die Hilfsbehauptung.
Kehren wir zurück zu unserer Beziehung (5.5). Aus der Hilfsbehauptung erhalten wir für
m 1 ≠ m 2 die Folgerung n 1 = n 2 , also [(n 1 , n 2 )] = [(0, 0)]. Gilt andererseits m 1 = m 2 , so
bedeutet das [(m 1 , m 2 )] = [(0, 0)] und wir schließen die Nichtexistenz von Nullteilern. □
¡
¡
¡
Wir können sehr leicht nachrechnen, dass für die Elemente [(n, 0)] dieselben Rechenregeln
gelten wie für natürliche Zahlen n. Außerdem sind alle diese Zahlen verschieden (n ≠ m ⇒
[(n, 0)] ≠ [(m, 0)]). Es ist also ⊆ mit dieser Identifikation. Wir schreiben in Zukunft
auch n für diese Elemente. Es ist nun das Inverse bzgl. + von n die Klasse [(0, n)], und wir
schreiben für dieses Element von kurz −n. Die Elemente [(n, 0)] und [(0, n)] für n ∈
sind auch schon alle Elemente in , da
([m 1 , m 2 ]) = m 1 + (−m 2 ) =
{
([m 1 − m 2 , 0]) falls m 1 ≥ m 2
([0, m 2 − m 1 ]) falls m 1 < m 2 . .
Damit haben wir endlich die uns vertraute Form der ganzen Zahlen als ± “ erreicht.
”
Es gilt für alle n, m ∈ , dass [(n, 0)] ≤ [(m, 0)] genau dann, wenn n ≤ m. Das folgt
direkt aus der Definition. Ebenfalls aus der Definition folgt sogleich [(0, n)] ≤ [(0, m)], dann
und nur dann wenn m ≤ n ist. Schließlich kann man noch aus der Definition ablesen,
dass für ∋ n ≠ 0 die Ungleichungen [(0, n)] < [(0, 0)] < [(n, 0)] gelten. Die natürlichen
Zahlen entsprechen also genau den positiven Elementen ¡ von , und die Elemente −n sind
die negativen Elemente (die negativen Zahlen).
¡
¡
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Theorem 5.2.3. Für die Ordnungsrelation von
(1) ∀m, n ∈ : (m ≤ n =⇒ −m ≥ −n),
(2) ∀k, m, n ∈ : (m ≤ n ⇒ m + k ≤ n + k),
(3) ∀m, n ∈ : ((m > 0 ∧ n > 0) ⇒ mn > 0),
(4) ∀k, m, n ∈ : ((k > 0 ∧ m ≤ n) ⇒ km ≤ kn),
(5) ∀k, m, n ∈ : ((k < 0 ∧ m ≤ n) ⇒ km ≥ kn),
(6) ∀k, m, n ∈ : ((k > 0 ∧ km ≤ kn) ⇒ m ≤ n)
Beweis.
finden wir die folgenden Eigenschaften.
(1) Sind die Vorzeichen von m und n verschieden, so wissen wir m ≤ 0 ≤ n und daher
−m ≥ 0 ≥ −n. Sind m und n positiv, so sind −m = [(0, m)] und −n = [(0, n)].
Wegen m ≤ n gilt nach Definition von ≤ ¡ auf die Beziehung −m ≥ −n. Haben
wir umgekehrt m ≤ n ≤ 0, so impliziert das analog zu oben −m ≥ −n.