Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

3.3. MENGEN 53
injektiv: wenn verschiedene Urbilder auch verschiedene Bilder haben. In Symbolen
können wir schreiben
x ≠ y ∈ A =⇒ f(x) ≠ f(y) oder f(x) = f(y) =⇒ x = y.
Anders ausgedrückt verlangen wir, dass jedes Element in B höchstens ein Urbild
hat.
surjektiv: wenn jedes Element von B von f getroffen wird, also mindestens ein
Urbild besitzt. In Symbolen:
∀b ∈ B : ∃a ∈ A : f(a) = b.
bijektiv: wenn f injektiv und surjektiv ist. Das ist der Fall, wenn jedes Element in
der Bildmenge B genau ein Urbild besitzt.
ACHTUNG: Mitunter werden für die Begriffe injektiv und bijektiv auch die alten Begriffe
eindeutig und eineindeutig verwendet. Das wäre ja leicht zu merken, doch unglücklicherweise
verwenden manche Autoren den Begriff ”
eineindeutig“ statt für bijektiv für injektiv.
Daher rate ich dringend zur Verwendung der lateinischen Bezeichnungen.
Ist f : A → B surjektiv, so sagt man auch f ist eine Abbildung von A auf B.
Wenn man Injektivität und Surjektivität von Abbildungen untersucht, ist es wichtig,
nicht zu vergessen, Urbild- und Bildbereiche genau zu beachten. Wenn wir etwa die Funktion
f : x ↦→ x 2 untersuchen, dann können wir abhängig von Definitions- und Bildbereich alle
Varianten finden:
(1) £ £ f : → ist weder injektiv noch surjektiv, weil f(−1) = f(1), was der Injektivität
widerspricht und −1 nicht von f getroffen wird.
+
£ (2) f £ : 0 → ist injektiv aber nicht surjektiv.
+
£ (3) £ f : → 0 ist surjektiv aber nicht injektiv.
+ +
£ (4) f £ : 0 → 0 ist bijektiv.
Ein weiteres, wichtiges Beispiel für eine bijektive Abbildung ist für jede Menge M die
Identität X : M → M mit ¨ der Definition X(m) = m für alle m ∈ ¨ M.
Ein erstes Beispiel für eine mathematische Struktur war diejenige einer Menge. Die zugehörigen
Beziehungen sind die Abbildungen. Wir haben aber im letzten Abschnitt eine
weitere, etwas spezialisierte Struktur definiert, die geordnete Menge. Was sind die Beziehungen
zwischen geordneten Mengen? Ganz einfach: Diejenigen Abbildungen, die die Ordnungsstruktur
erhalten, also die monotonen Abbildungen.
Definition 3.3.46. Seien (A, ≼) und (B, ) zwei geordnete Mengen. Eine Abbildung
f : A → B heißt monoton wachsend, falls aus x ≼ y schon f(x) f(y) folgt. Sie heißt
monoton fallend, falls sich aus y ≼ x die Relation f(x) f(y) ergibt.
Beispiel 3.3.47. Die Funktion f £ :
wachsend.
+
0 → £ mit der Definition f(x) = x 2 ist monoton
Wir haben also bereits zwei Beispiele für typische mathematische Strukturen kennengelernt:
Mengen und Abbildungen und geordnete Mengen und monotone Abbildungen.
Sind f : A → B und g : B → C zwei Abbildungen, so können wir diese hinter einander
ausführen, indem wir das Ergebnis von f in g einsetzen: g(f(a)). Dies ist ein wichtiges
Konzept
Definition 3.3.48. Seien f : A → B und g : B → C zwei Abbildungen. Wir definieren
die Verknüpfung von f mit g (Hintereinanderausführung von f und g) g ◦ f : A → C
durch
g ◦ f(a) := g(f(a)).