Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

86 5. ZAHLENMENGEN
Sei M = {n ∈ | ∀m ∈ : (m < n ∨ m = n ∨ n < m)}. Betrachten wir zuerst 0. Ist
0 ≠ n, so gilt 0 = ∅ ⊆ n, also 0 ∈ n wegen HB2, und daher 0 ∈ M. Sei nun n ∈ M. Betrachten
wir S(n). Sei m ∈ gegeben. Gelten m ∈ n oder m = n, so haben wir m ∈ n ∪ {n} = S(n).
Gilt andererseits n ∈ m, so folgt aus HB1, dass S(n) ⊆ m. Ist S(n) ≠ m, so ist S(n) ∈ m
wegen HB2. Es gilt also m ∈ S(n) ∨ m = S(n) ∨ S(n) ∈ m, und daher S(n) ∈ M. Verwenden
wir ein weiteres Mal Korollar 5.1.2, so sehen wir M = und wir sind fertig. □
Die arithmetische Operation + : × → sei unser nächstes Opfer. Wir definieren
und finden das folgende Resultat
n + 0 = n
n + S(m) = S(n + m)
Proposition 5.1.5. Es gibt genau eine Abbildung + : × → , die obige rekursive
Definition erfüllt.
Beweis. Beginnen wir mit der Eindeutigkeit. Seien + und ⊞ zwei Funktionen, die die
rekursive Definition erfüllen. Setzen wir M := {n ∈ | ∀m ∈ : (m + n = m ⊞ n)}.
Natürlich ist 0 ∈ M wegen n + 0 = n = n ⊞ 0. Sei nun n ∈ N, dann haben wir für m ∈ die
Gleichung m + S(n) = S(m + n) = S(m ⊞ n) wegen n ∈ N und S(m ⊞ n) = m ⊞ S(n), und
daher S(n) ∈ M. Aus Korollar 5.1.2 folgt M = , und daher ist + = ⊞ als Teilmenge von
( × ) × . Wir dürfen noch nicht von Abbildung reden, da wir die Abbildungseigenschaft
noch nicht nachgewiesen haben. Dies können wir mit einem ählichen Induktionsargument
erreichen.
Sei für jedes m ∈ die Abbildung“ + ” m : → definiert durch + 0 (n) = n und
+ S(m) (n) = S(+ m (n)). Dies macht + m zu einer Relation, aber wir werden unten die Abbildungseigenschaft
nachweisen:
Sei M := {m ∈ | ∀n ∈ : ∀j ≤ m : ∃!k ∈ : (+ j (n) = k)}. Wegen ∀n ∈ : (+ 0 (n) = n)
folgt sofort 0 ∈ M. Ist m ∈ M, dann ist + 0 (n) = n eindeutig. Sei also j ≤ m. Dann
existiert für beliebiges n ∈ genau ein k mit + j (n) = k. Also ist für S(j) die Beziehung
+ S(j) (n) = S(+ j (n)) = S(k) erfüllt. Somit ist auch S(m) ∈ M, da für j ∈ mit j ≤ S(m)
entweder j = 0 ist oder ein j ′ ∈ existiert mit j = S(j ′ ) und j ′ ≤ m. Somit impliziert
Korollar 5.1.2 aber M = . Daher ist für jedes m ∈ die Relation + m tatsächlich eine
Abbildung, und + : × → ist dann als Abbildung definiert durch n + m = + m (n) für
alle m, n ∈ . □
Mit ähnlichen Induktionsbeweisen zeigt man noch, dass die arithmetische Operation · :
× → rekursiv definiert werden kann durch
n · 0 = 0
n · S(m) = (n · m) + n
Theorem 5.1.6. Die natürlichen Zahlen ( , +, ·) bilden einen kommutativen Halbring
mit 0 und 1.
Beweis. Zeigen wir zunächst, dass ( , +) eine kommutative Halbgruppe ist.
BH1: ∀n ∈ : S(m) + n = m + S(n).
Sei M := {n ∈ | ∀m ∈ : S(m) + n = m + S(n)}. Es gilt S(0) + 0 = S(0) und
0 + S(0) = S(0 + 0) = S(0) und daher 0 ∈ M. Sei nun n ∈ M. Wir betrachten S(n)
und erhalten für m ∈ die Beziehung S(m)+S(n) = S(S(m)+n) = S(m+S(n)) =
m + S(S(n)) nach Definition von + und weil n ∈ M. Daher ist auch S(n) ∈ M und
Korollar 5.1.2 liefert uns M = .