Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

4.2. GRUPPEN 73
In der Algebra kommen etwa Untergruppen, Unterringe und Unterkörper vor. In der
linearen Algebra spricht man von Teilräumen, Teilalgebren,. . .
Definition 4.2.23. Sei (G, ◦, e) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊆ G heißt Untergruppe,
falls (H, ◦, e) eine Gruppe ist.
Das ist die typische Definition einer Teilstruktur. Es ist eine Teilmenge, die mit den
ererbten (induzierten) Operationen dieselbe Struktur aufweist wie ihre Obermenge.
Meist beweist man dann, welche Eigenschaften nachzurechnen sind, um sicher zu stellen,
dass man tatsächlich eine Teilstruktur gefunden hat. Basiert die Strukturdefinition auf einer
Verknüpfung ◦, so muss man stets überprüfen, dass die Verknüpfung auf der Teilmenge
H ⊆ G abgeschlossen ist, dass also
∀g, h ∈ H : g ◦ h ∈ H
gilt. Die Verknüpfung in G darf also nicht aus H herausführen.
Proposition 4.2.24. Eine Teilmenge H ⊆ G einer Gruppe G ist eine Untergruppe,
wenn für alle g, h ∈ H auch g ◦ h −1 ∈ H ist. Äquivalent dazu ist, dass für alle g, h ∈ H die
Verknüpfung g ◦ h ∈ H und zusätzlich zu jedem Element h ∈ H auch das Inverse h −1 ∈ H
liegt.
Ist G abelsch, dann auch H.
Beweis. Zuerst beweisen wir die Äquivalenz der Eigenschaften.
⇒: Ist für je zwei Elemente g, h ∈ H auch g◦h −1 ∈ H, so sehen wir sofort, dass e = g◦g −1 ∈ H
liegt. Damit ist aber auch zu jedem g ∈ H das Element e ◦ g −1 = g −1 ∈ H. Ferner muss
dann aber für g, h −1 ∈ H das Element g ◦ (h −1 ) −1 = g ◦ h ∈ H liegen.
⇐: Seien g, h ∈ H. Dann erhalten wir h −1 ∈ H, und daher ist auch g ◦ h −1 ∈ H.
Das beweist die behauptete Äquivalenz. Nun bleibt zu zeigen, dass diese Eigenschaften
genügen, um zu überprüfen, dass H eine Gruppe ist.
Der erste Schritt dabei ist zu zeigen, dass (H, ◦) ein Gruppoid bildet, dass also ◦ tatsächlich
eine Verknüpfung auf H ist. Das ist aber tatsächlich der Fall, weil wir schon wissen, dass für
je zwei Elemente g, h ∈ H auch g ◦ h ∈ H liegt. Damit ist aber H bereits eine Halbgruppe,
denn das Assoziativgesetz gilt, weil es sogar für alle Elemente in G erfüllt ist.
Das Einselement e von G liegt ebenfalls in H, da für jedes Element g ∈ H auch e =
g◦g −1 ∈ H sein muss. Schließlich besitzt jedes Element g ∈ H auch ein Inverses in H, nämlich
g −1 , von dem wir bereits wissen, dass es in H liegt. Das beweist alle Gruppeneigenschaften
für (H, ◦, e), und daher ist H eine Untergruppe von G.
Wenn G abelsch ist, dann erfüllen alle Elemente in G das Kommutativgesetz, also erst
recht alle in H.
□
Beispiel 4.2.25.
• Jede Gruppe G besitzt die beiden trivialen Untergruppen {e} und G.
• Die Gruppe (¡ , +) ist eine Untergruppe von (£ , +).
• Die Gruppe (¡ , +) besitzt etwa die Untergruppe ¡ g aller geraden ganzen Zahlen.
Ein wichtiger Begriff der Algebra fehlt noch. Wir haben jetzt aus zuvor unbedarften Mengen
neue mathematische Strukturen geschaffen, indem wir auf ihnen eine Verknüpfungsrelation
eingeführt haben. Dann haben wir die Eigenschaften dieser Verknüpfungen untersucht
und sind so schließlich zur Definition der Gruppe gekommen. Wo sind aber die versprochenen
Verbindungen zwischen unseren Gruppenobjekten? Bei den Mengen hatten wir die
Abbildungen. Was sollen wir bei den Gruppen verwenden.
Die Lösung ist einfach. Gruppen sind Mengen, also können wir mit Abbildungen anfangen.
Um allerdings die Gruppenstruktur nicht ganz zu vergessen, müssen wir von den