Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

62 4. ALGEBRA
wurden auch in späteren Büchern arabischer Mathematiker verwendet, und so wurde über
viele Zwischenstufen aus dem arabischen al-jabr (Auffüllen, Vervollständigen) das moderne
Wort Algebra.
Heute versteht man unter Algebra vor allem die mathematische Theorie von Strukturen,
und was das genau ist, wollen wir uns in den nächsten Abschnitten genauer ansehen.
4.1. Motivation
Alle hier besprochenen Strukturen basieren auf dem Mengenkonzept. Es sind Mengen
zusammen mit Abbildungen, die bestimmte Eigenschaften aufweisen.
Beispiel 4.1.1.
• Sei W die Menge aller Hauptwörter der deutschen Sprache. Wählt man zwei Wörter
aus W , dann kann man (meist) durch (fast bloßes) Hintereinandersetzen ein weiteres
Wort aus W erzeugen. Wir können etwa aus ”
Leiter“ und ”
Sprosse“ das Wort
” Leitersprosse“ bilden. Auch ” Dampf“ und ” Schiff“ lassen sich zu ” Dampfschiff“
verbinden, ”
Schiff“ und ”
Kapitän“ ergeben ”
Schiffskapitän“.
• Sei S die Menge aller Strichblöcke. Ein Strichblock ist einfach eine Ansammlung
hintereinander geschriebener gleich langer Striche:
s = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Fügen wir zwei Strichblöcke aneinander, dann erhalten wir wieder einen (längeren)
Strichblock.
• Sei T die Menge aller Möglichkeiten, ein Objekt im dreidimensionalen Raum geradlinig
zu verschieben, also die Menge der Translationen. Bei der Betrachtung solcher
Verschiebungen können wir uns auf deren Richtung und Länge beschränken. Zusammen
mit der Position des Objekts vor der Translation ist es uns dann leicht möglich,
seine Endposition zu bestimmen. Verschieben wir ein Objekt zweimal, so hätten wir
dieselbe Endposition auch mit einer einzigen Translation erreichen können. Das
Hintereinander-Ausführen von Translationen ist also wieder eine Translation.
• Betrachten wir wieder einen Gegenstand. Wir wählen eine beliebige Gerade g, die
durch seinen Schwerpunkt geht. Dann geben wir uns einen Winkel ϕ vor und verdrehen
das Objekt bezüglich der Drehachse g um den Winkel ϕ. Die Menge aller dieser
Drehungen sei D. Wie bei den Translationen ergibt das Hintereinander-Ausführen
zweier Drehungen wieder eine Drehung.
• Sei M M = Abb(M) die Menge aller Abbildungen von M nach M. Die Hintereinander-
Ausführung ◦ von Abbildungen ist eine Verknüpfung auf Abb(M).
• Wenn wir zwei natürliche Zahlen addieren oder multiplizieren, erhalten wir wieder
eine natürliche Zahl.
• Auch das Produkt und die Summe zweier ganzer Zahlen ist eine ganze Zahl.
• Auch reelle Zahlen können wir addieren und multiplizieren, um eine neue reelle Zahl
zu berechnen.
• Sei M 2 ) die Menge aller 2 × 2–Matrizen reeller Zahlen. Eine 2 × 2–Matrix (£
ist
dabei ein kleines Zahlenquadrat der Form
( )
a11 a 12
a 21 a 22
aus Zahlen a ij ∈ . Wir £ definieren die Summe zweier Matrizen komponentenweise
( ) ( ) ( )
a11 a 12 b11 b
+
12 a11 + b
:=
11 a 12 + b 12
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22
und erhalten wieder eine 2 × 2–Matrix.