Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...
Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...
Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
5.1. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 87<br />
BH2: ∀n ∈ : 0 + n = n.<br />
Sei M := {n ∈ | 0 + n = n}. D<strong>an</strong>n ist 0 ∈ M wegen 0 + 0 = 0. Sei nun n ∈ M und<br />
betrachten wir S(n). Wir erhalten 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n) aus <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition<br />
von + und weil n ∈ M. Daraus und aus <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition folgt, <strong>das</strong>s 0 e<strong>in</strong> Nullelement<br />
ist.<br />
KG(+): ∀n, m ∈ : n + m = m + n.<br />
Diese Beziehung zeigen wir ebenfalls mit Induktion. Sei M := {n ∈ | ∀m ∈ :<br />
m + n = n + m}. Wegen BH2 und <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition von + gilt <strong>für</strong> alle n ∈ die<br />
Gleichung 0 + n = n + 0 und daher 0 ∈ M. Sei nun n ∈ M. D<strong>an</strong>n rechnen wir <strong>für</strong><br />
beliebiges m ∈ wie folgt: S(n)+m = n+S(n) = S(n+m) = S(m+n) = m+S(n).<br />
Zweimal haben wir die Def<strong>in</strong>ition von + verwendet und je e<strong>in</strong>mal die Tatsache<br />
n ∈ M und BH1. Daher ist S(n) ∈ M, und wegen Korollar 5.1.2 gilt M = . Daher<br />
ist + kommutativ.<br />
AG(+): ∀k, m, n ∈ : (k + n) + m = k + (n + m).<br />
E<strong>in</strong> weiterer Induktionsbeweis wird uns <strong>das</strong> Assoziativgesetz zeigen. Wir def<strong>in</strong>ieren<br />
M := {m ∈ : ∀k, n ∈ : (k + n) + m = k + (n + m)}, und wie<strong>der</strong> gilt 0 ∈ M,<br />
diesmal wegen (k + n) + 0 = k + n = k + (n + 0). Ist m ∈ M, d<strong>an</strong>n rechnen wir <strong>für</strong><br />
beliebige k, n ∈<br />
(k + n) + S(m) = S((k + n) + m) = S(k + (n + m)) =<br />
= k + S(n + m) = k + (n + S(m)).<br />
Das beweist S(m) ∈ M und damit M = wegen Korollar 5.1.2. Also ist + assoziativ<br />
und ( , +) e<strong>in</strong> kommutatives Monoid.<br />
BH3: ∀n ∈ : 0 · n = 0.<br />
Induktion mit M = {n ∈ | 0 · n = 0}. 0 ∈ M wegen <strong>der</strong> Def<strong>in</strong>ition 0 · 0 = 0. Ist<br />
n ∈ M, so ist auch S(n) ∈ M wegen 0 · S(n) = (0 · n) + 0 = 0 + 0 = 0. Korollar 5.1.2<br />
impliziert wie<strong>der</strong> M = .<br />
BH4: ∀n ∈ : S(0) · n = n · S(0) = n, also S(0) ist E<strong>in</strong>selement.<br />
Die erste Gleichung n · S(0) = n · 0 + n = 0 + n = n folgt direkt aus den Def<strong>in</strong>itionen<br />
von · und +. Die zweite Gleichung benötigt e<strong>in</strong>en Induktionsbeweis. Sei M := {n ∈<br />
| S(0) · n = n}. Es ist 0 ∈ M nach Def<strong>in</strong>ition von ·, und ist n ∈ M, so können wir<br />
rechnen<br />
S(0) · S(n) = (S(0) · n) + S(0) = n + S(0) = S(n + 0) = S(n).<br />
Daher ist S(n) ∈ M und M = wegen Korollar 5.1.2.<br />
BH5: ∀n, m ∈ : S(n) · m = n · m + m.<br />
Dieser erste Schritt zur Kommutativität folgt aus Korollar 5.1.2 nach Def<strong>in</strong>ition<br />
von M := {m ∈ | ∀n ∈ : S(n) · m = n · m + m}. Es gilt nämlich wegen<br />
S(n) · 0 = 0 = (n · 0) + 0, <strong>das</strong>s 0 ∈ M ist. Gilt nun m ∈ M, d<strong>an</strong>n haben wir <strong>für</strong><br />
beliebiges n ∈<br />
S(n) · S(m) = (S(n) · m) + S(n) = (n · m) + m + S(n) =<br />
= (n · m) + S(m) + n = (n · m) + n + S(m) =<br />
= (n · S(m)) + S(m)<br />
und damit S(m) ∈ M.<br />
KG(·): ∀m, n ∈ : m · n = n · m.<br />
Diesmal setzen wir M := {n ∈ | ∀m ∈ : m · n = n · m}. Es ist wegen <strong>der</strong><br />
Def<strong>in</strong>ition von · und BH3 0 ∈ M. Ist n ∈ M, so auch S(n) wegen m · S(n) =