Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

KAPITEL 2
Grundlagen
Bevor wir uns in die Tiefen der Mathematik stürzen, müssen wir als ersten Schritt einiges
an Grundlagenwissen ansammeln, einfache Schreibweisen und Ideen, ohne die wir unser Ziel,
das Wesen der ”
höheren“ Mathematik zu erforschen, nicht erreichen können.
2.1. Beweise
Wie wir schon in der Einleitung (Kapitel 1) erwähnt haben, bilden Beweise die Grundlage
des mathematischen Gebäudes. Während wir in den weiteren Abschnitten tiefer auf die Art
und Weise eingehen werden, wie Beweise aufgebaut und geführt werden, wollen wir zunächst
mit ein paar einfach verständlichen Beispielen beginnen.
Proposition 2.1.1. Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade.
Man kann sich die gesamte Mathematik denken als eine Ansammlung von Aussagen, die
aus gewissen Grundaussagen (den Axiomen) durch logische Schlussfolgerungen abgeleitet
werden. Dieser Vorgang heißt beweisen. Gilt eine Aussage A als bewiesen, und kann man
eine weitere Aussage B logisch aus A ableiten, so gilt auch B als bewiesen.
Die solcherart bewiesenen Aussagen nennt man Sätze oder auch Theoreme. Üblich
in der Literatur ist, zuerst die Aussage des Satzes aufzuschreiben und danach den Beweis
anzuschließen, in dem die Aussage des Satzes aus bekannten Resultaten hergeleitet wird.
Mit diesem Prinzip steht und fällt die Mathematik, daran lässt sich nicht deuteln.
Anstelle von Satz bzw. Theorem werden auch zuweilen andere Ausdrücke verwendet,
die den Stellenwert der Aussagen untereinander im Rahmen der Theorie andeuten. Ob und
wie man diese Begriffe verwendet, ist reine Geschmackssache.
Satz, Theorem: Dies ist das typische Resultat einer Theorie.
Hauptsatz: So wird ein besonders wichtiger Satz in einem Teilgebiet der Mathematik
genannt. Ein Beispiel ist etwa der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
den Sie im Rahmen der Analysis Vorlesungen kennen lernen werden.
Lemma: Dieses Wort stammt aus dem Griechischen (die Mehrzahl ist daher Lemmata)
und bedeutet ”
Stichwort“ oder ”
Hauptgedanke“. Es wird in zwei verschiedenen
Zusammenhängen verwendet. Zum einen bezeichnet es ein kleines, meist technisches
Resultat, einen Hilfssatz, der im Rahmen des Beweises eines wichtigen Satzes verwendet
wird aber selbst meist uninteressant ist. Zum anderen handelt es sich dabei
um besonders wichtige Schlüsselgedanken, die in vielen Situationen nützlich sind.
Solche genialen Erkenntnisse tragen meist den Namen des Erfinders (Lemma von
Zorn, Lemma von Urysohn,. . . ).
Proposition: Dies ist die lateinische Bezeichnung für Satz und wird manchmal an
dessen Stelle verwendet, meist aber um ein Resultat zu bezeichnen, dessen Wichtigkeit
zwischen der eines Hilfssatzes und der eines Theorems liegt.
Korollar, Folgerung: Dies ist ein Satz, der aus einem anderen Satz durch triviale
oder sehr einfache Schlussweise folgt. Manchmal ist es ein Spezialfall einer bereits
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