Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

56 3. LOGIK, MENGENLEHRE
Cantor hat schon gezeigt, dass aus der Mächtigkeitsdefinition gefolgert werden kann, dass
unendlich große Mengen nicht gleich groß zu sein brauchen. Es gibt auch bei unendlichen
Menge Größenunterschiede. In der Mengentheorie ist also ”
unendlich nicht gleich
unendlich“.
Das Wort unendlich ist in der Mathematik allgegenwärtig. Die meisten vom Mathematiker
behandelten Gegenstände sind unendlich (z.B. £ , n , . . . ), die meisten Aussagen in der
mathematischen Theorie handeln von unendlich vielen Objekten.
Das Symbol für den Ausdruck unendlich ist ∞. Dass es ein (und nur ein) Symbol für
unendlich“ gibt, führt leider oft zu Missverständnissen, wird doch von vielen daraus geschlossen,
dass man mit unendlich so umgehen kann wie mit den reellen oder komplexen
”
Zahlen.
Eine Menge M hat unendlich viele Elemente
Diese Aussage bedeutet, dass es keine natürliche Zahl n gibt mit |M| = n. Man schreibt
abkürzend manchmal |M| = ∞. Es bezeichnet |M| die Mächtigkeit (Kardinalität) von M,
doch ∞ ist keine Kardinalzahl. Daher ist obige Formulierung keine mathematisch exakte
Aussage.
Man verwendet ∞ bei der Beschreibung von Grenzübergängen wie etwa in
lim
n→∞ a n
oder in
Für n → ∞ strebt die Folge (x n ) n gegen x.
Auch hier ist ∞ nur eine Abkürzung für die ε-δ–Definition aus der Analysis. Dasselbe gilt
für die Notation in unendlichen Reihen.
∞∑ 1
n 2
n=1
Eine wirkliche mathematische Bedeutung hat das Symbol ∞ etwa in der Maßtheorie, in
der die Menge := £ ∪{∞} eingeführt wird. In diesem Fall bezeichnet ∞ ein bestimmtes von
allen reellen Zahlen wohlunterschiedenes Element von ¯£
mit genau definierten Eigenschaften.
Auch in der projektiven Geometrie kommt das Symbol ∞ vor, und auch dort hat es eine
¯£
genau festgelegte Bedeutung. In diesen Fällen ist ∞ keine Abkürzung mehr; dort hat es aber
auch eine fixe Bedeutung frei von Mythen.
Was ist die kleinste“ unendliche Menge? Diese Frage läßt sich beantworten. Es kann
”
relativ leicht gezeigt werden, dass jede unendliche Menge mindestens so groß wie sein
muss.
Heuristisch lässt sich das so begründen: Wenn wir genauer untersuchen, dann erkennen
wir folgende Eigenheit: In der natürlichen Ordnung von besitzt jede Teilmenge T ⊂ ein
kleinstes Element (ein Minimum). Die Menge ist also wohlgeordnet. Nun finden wir dass
für Teilmengen T von nur zwei Möglichkeiten in Betracht kommen.
(1) Die Menge T ist nach oben beschränkt. Dann ist T endlich. Ist nämlich α eine obere
Schranke von T , so ist T Teilmenge der endlichen Menge {0, 1, . . . , α}.
(2) Die Menge T ist nicht nach oben beschränkt. Dann kann man zu jedem Element
t in T das nächst größere Element t ′ in T finden. Auf diese Weise kann man die
Elemente von T durchnummerieren und eine Bijektion auf konstruieren.
Also ist jede Teilmenge von entweder endlich oder unendlich und genauso groß wie
selbst. Zwischen“ den endlichen Mengen und gibt es also keine Größenordnung mehr.
”
Um über die Mächtigkeit von reden zu können, müssen wir ein neues Symbol einführen.
Wir schreiben | | =: ℵ 0 (dieser Buchstabe stammt aus dem hebräischen Alphabet und heißt