Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

96 5. ZAHLENMENGEN
Das Distributivgesetz sieht man so ein.
K9: Für q = [(q 1 , q 2 )], r = [(r 1 , r 2 )] und s = [(s 1 , s 2 )] rechnen wir
q(r + s) = [(q 1 , q 2 )] ( [(r 1 , r 2 )] + [s 1 , s 2 ] ) = [(q 1 , q 2 )][(r 1 s 2 + r 2 s 1 , r 2 s 2 )] =
= [(q 1 (r 1 s 2 + r 2 s 1 ), q 2 r 2 s 2 )] = [(q 1 r 1 s 2 + q 1 r 2 s 1 , q 2 r 2 s 2 )] =
= [(q 1 r 1 q 2 s 2 + q 2 r 2 q 1 s 1 , q 2 2r 2 s 2 )] = [(q 1 r 1 , q 2 r 2 )] + [(q 1 s 1 , q 2 s 2 )] =
= [(q 1 , q 2 )][r 1 , r 2 ] + [(q 1 , q 2 )][(s 1 , s 2 )] = qr + qs
Daher ist ¢ ein Körper. □
Führen wir darüber hinaus die Relation ≤ ein, indem wir fordern
[(m 1 , m 2 )] ≤ [(n 1 , n 2 )] : ⇐⇒ m 1 n 2 ≤ n 1 m 2 ,
so ist dies wohldefiniert. Hätten wir etwa (m ′ 1, m ′ 2) ∈ [(m 1 , m 2 )] gewählt, so ist m 1 m ′ 2 = m ′ 1m 2
und wir haben
m 1 n 2 ≤ n 1 m 2
m 1 m ′ 2n 2 ≤ n 1 m 2 m ′ 2
m ′ 1m 2 n 2 ≤ n 1 m 2 m ′ 2
m ′ 1n 2 ≤ n 1 m ′ 2 wegen m 2 > 0 und Theorem 5.2.3.
Analog zeigen wir die Wohldefiniertheit auf der rechten Seite.
Theorem 5.3.6. Die Relation ≤ macht ¢
zu einem geordneten Körper.
Beweis. Wir müssen die Bedingungen O1 und O2 nachweisen:
O1: Seien q = [(q 1 , q 2 )], r = [(r 1 , r 2 )] und s = [(s 1 , s 2 )]. Dann gilt
q ≤ r =⇒ q 1 r 2 ≤ q 2 r 1 =⇒ q 1 s 2 r 2 ≤ r 1 s 2 q 2 =⇒
=⇒ (q 1 s 2 + s 1 q 2 )r 2 ≤ (r 1 s 2 + s 1 r 2 )q 2 =⇒
=⇒ (q 1 s 2 + s 1 q 2 )r 2 s 2 ≤ (r 1 s 2 + s 1 r 2 )q 2 s 2 =⇒
=⇒ [(q 1 s 2 + s 1 q 2 , q 2 s 2 )] ≤ [(r 1 s 2 + s 1 r 2 , r 2 s 2 )] =⇒ q + s ≤ r + s.
O2: Sei q = [(q 1 , q 2 )] > 0, dann folgt q 1 > 0. Für r = [(r 1 , r 2 )] gilt analog r 1 > 0.
Daher ist qr = [(q 1 r 1 , q 2 r 2 )] > 0, weil q 1 r 1 > 0 gilt wegen Theorem 5.2.3.
Wenn wir zu guter Letzt die Schreibweise
{
m
n := [(m, n)] für n > 0
[(−m, −n)] für n < 0
erklären, dann haben wir die Bruchzahlen“ wieder eingeführt und die gewohnte Notation
”
¢ von zurückgewonnen.
Auch die ganzen ¡ Zahlen können wir ¢ in wiederfinden. Wenn wir die Elemente der Form
[(n, 1)] betrachten, so sehen wir, dass für m ≠ n auch [(m, 1)] ≠ [(n, 1)] gilt. Die Rechenoperationen
¡ in gelten auch: [(m, 1)] + [(n, 1)] = [(m + n, 1)] und [(m, 1)][(n, 1)] = [(mn, 1)].
Die Abbildung ι ¡ : ¢ → mit ι : z ↦→ [(z, 1)] ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Wir
können ¡ also ∼ = ι(¡ ) ¢ ⊆ als Teilring (sogar Teil-Integritätsbereich) sehen. Wir werden
Elemente der Form [(m, 1)] daher weiterhin mit der ganzen Zahl m identifizieren.
□