Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

5.4. DIE REELLEN ZAHLEN 101
Z.B. sind π und e transzendent. Ersteres hat übrigens Ferdinand Lindemann (1852–1939)
im April 1882 bewiesen.
5.4.1. Die mengentheoretische Konstruktion £ von . Das einzige, das uns noch
fehlt in userer Untersuchung über die reellen Zahlen ist der Beweis von Theorem 5.4.4. Wir
werden diesen gesamten Abschnitt dafür opfern £ und ¢ aus durch mengentheoretische Mechanismen
konstruieren. Zu diesem Zweck werden wir die von Dedekind erfundenen Schnitte
verwenden. Es gibt viele äquivalente Verfahren zur Konstruktion £ von ¢ aus . Die Dedekindschen
Schnitte sind nicht die einleuchtendste Methode aber jedenfalls diejenige, die nur
Mengenoperationen verwendet.
Definition 5.4.9. Eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge S ¢ ⊆ heißt Schnitt
¢ (von ), falls
S1: ∀q ∈ ¢ \ S : ∀s ∈ S : s ≥ q, und
S2: ∀s ∈ S : ∃s ′ ∈ S : s > s ′ .
Motivierend kann man erklären, dass ein Schnitt ein halboffenes Intervall ] a, +∞ ∩¢ [
mit a £ ∈ ist. Noch dürfen wir das allerdings nicht sagen.
Proposition 5.4.10.
(1) Sei S ein Schnitt. Es gilt
¢
¢ ¢
∀S ∈ s : ∀q ∈ : (s ≤ q ⇒ q ∈ S).
Ist also eine rationale Zahl größer als ein Element des Schnittes, dann liegt sie im
Schnitt.
(2) Zu jeder positiven rationalen Zahl ε gibt es q, r ∈ mit q ∈ S, r ∈ \ S und
q − r ≤ ε.
Beweis.
(1) Seien s ∈ S und q ∈ mit s ≤ q. Ist q /∈ S, dann liegt natürlich q ∈ \ S und
daher gilt ∀s ′ ∈ S : s ′ ≥ q. Daher ist auch s ≥ q, und weil ≤ eine Ordnungsrelation
ist, folgt s = q. Das ist ein Widerspruch zu q /∈ S. Daher ist q ∈ S, und wir sind
fertig.
(2) Sei 0 < ε ∈ . Weil S ein Schnitt ist, gibt es q ∈ S und r ∈ \ S. Ist q − r ≤ ε,
dann sind wir fertig. Andernfalls sei n ∈ so groß, dass n > q−r gilt. Solch ein n
ε
existiert wegen Proposition 5.3.3. Wir bilden nun die Menge
M := {r + k q−r
n
| k ∈ {0, . . . , n}} ⊆ ¢ .
(¢
(¢
Für q ∈ M ∩ S und r ∈ M ∩ \ S). Es existiert ein kleinstes Element q m ∈ M ∩ S,
weil M endlich ist. Dann ist r m := q m − q−r
n
∈ M ∩ \ S), und wir haben zwei
rationale Zahlen q m und r m wie benötigt gefunden, da q m − r m = q−r
n < ε gilt. □
§¢ ¢ Definition 5.4.11. Sei R ⊆ die Menge aller Schnitte von . Wir definieren auf R
die Relation ≤ durch
S ≤ T := S ⊇ T. (5.6)
Proposition 5.4.12. Die Relation ≤ macht R zu einer totalgeordneten Menge.
Beweis. Wir müssen die Ordnungseigenschaften überprüfen. Halbordnung ist eigentlich
klar, da ⊇ eine Halbordnung auf §¢ bildet, doch wir schreiben alles noch einmal auf:
Reflexivität: Es für jede Menge S ⊇ S.
Symmetrie: Sind S ⊇ T und T ⊇ S erfüllt, so ist S = T .