Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

3.2. AUSSAGEN, LOGIK 37
Äquivalenzen kommen in der Mathematik sehr häufig vor. Die Äquivalenz zweier Aussagen
A und B beweist man dabei so wie es von der obigen Formel suggeriert wird. Zunächst
weist man die Gültigkeit von A ⇒ B und danach zeigt man die umgekehrte Richtung B ⇒ A.
Vorsicht: Der Beweis einer Äquivalenz ist erst dann vollendet, wenn beide Implikationsrichtungern
gezeigt sind.
Hat man mehr als zwei Aussagen, von denen man die Äquivalenz zeigen möchte, etwa
A, B und C, so kann man einen sogenannten Zirkelschluss A ⇒ B, B ⇒ C, C ⇒ A
durchführen, um die Äquivalenz der Aussagen sicher zu stellen. Vorsicht: Solche Zirkelschlüsse
beweisen nur die Äquivalenz von Aussagen. Über deren Wahrheitswert wird durch
solch einen Beweis nichts bekannt.
Interessant ist noch die Verneinung einer Äquivalenzaussage. Mit Hilfe der Wahrheitstabelle
sehen wir nämlich ¬(p ⇐⇒ q) = p q, also ”
p ist nicht äquivalent zu q“ ist
gleichbedeutend mit ”
entweder p oder q“. Umgekehrt ist natürlich die Verneinung einer
Entweder-Oder-Aussage eine Äquivalenz.
3.2.2. ∀. Ein Großteil der mathematischen Theorien handelt von Strukturen und Regeln.
Ein Beispiel für Regeln sind etwa Rechengesetze, die für alle Objekte eine bestimmten
Gattung gelten. In diesem Fall verwenden wir das Zeichen ∀, den Allquantor.
Die Formulierung ”
∀x ∈ M :“ bedeutet ”
Für alle x in M gilt. . .“.
Andere Formulierung für dieselbe Zeichenfolge sind etwa
• Für jedes x in M gilt. . .
• ∧ m ∈ M.
• Sei m ∈ M beliebig. Dann gilt. . .
• Für eine beliebiges Element von M gilt. . .
• Ist m ∈ M, dann gilt. . .
• Jedes Element aus M erfüllt. . .
• Die Elemente von M erfüllen. . .
Bezieht sich ein ∀ auf mehrere Variable auf einmal, so verwendet man auch oft je zwei“, ”
je drei“, . . .
”
• Durch je zwei Punkte P und Q geht genau eine Gerade.
bedeutet nur Für jeden Punkt P und jeden Punkt Q ≠ P gibt es genau eine. . .
”
Der Unterschied zwischen alle“ und jedes“ besteht meist darin, dass man bei jedes“
” ” ”
ein beliebiges Objekt im Blick hat:
• Alle bijektiven Funktionen sind invertierbar.
• Für jede bijektive Funktion f existiert die Umkehrfunktion, welche wir mit f −1
bezeichnen.
Merke: Um eine Allaussage zu widerlegen genügt die Angabe eines Gegenbeispieles.
Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen. Dies ist natürlich
falsch, denn die Zahl 9 = 3 · 3 ist eine ungerade Zahl, die keine Primzahl
ist.
3.2.3. ∃ und ∃!. Oftmals wird eine mathematische Aussage nicht über alle Elemente
einer Menge getroffen, sondern es wird nur die Existenz eines bestimmten Objektes behauptet.
Für ein homogenes lineares Gleichungssystem existiert eine Lösung.
Die Formulierung in Zeichen mit Hilfe des Existenzquantors ist ”
∃x ∈ M :“ und in
Worten: ”
Es existiert ein x in M mit. . .“. Diese Aussage bedeutet, dass es mindestens ein
Element in M gibt mit. . .