Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

AG: Seien S, T und U Schnitte.
5.4. DIE REELLEN ZAHLEN 103
(S + T ) + U = {x + u | x ∈ S + T, u ∈ U} = {(s + t) + u | s ∈ S, t ∈ T, u ∈ U} =
= {s + (t + u) | s ∈ S, t ∈ T, u ∈ U} = {s + y | s ∈ S, y ∈ T + U} =
= S + (T + U).
KG: Für zwei Schnitte S und T sind die Mengen S + T und T + S gleich, weil die
Addition ¢ in kommutativ ist.
Nullelement: Der rationale Schnitt 0 := {q ¢ ∈ | q > 0} = 0 ist das Nullelement.
Sei nämlich T ein beliebiger Schnitt. Dann erhalten wir
0 + T = {s + t | s ∈ 0, t ∈ T }.
Wir müssen nachweisen, dass 0 + T = T gilt. Sei x ∈ 0 + T , dann gibt es s ∈ 0 und
t ∈ T mit s + t = x. Wegen s > 0 ist x > t und damit gilt x ∈ T , also 0 + T ⊆ T .
Umgekehrt sei t ∈ T . Weil T ein Schnitt ist, gibt es ein t ′ ∈ T mit t ′ < t. Setzen
wir nun s = t − t ′ , dann ist s ∈ 0 und t = s + t ′ ∈ S + T , was wiederum T ⊆ 0 + T
beweist.
Inverse: Betrachten wir wieder einen Schnitt S. Wir definieren
−S := {q ∈ ¢ | ∀s ∈ S : q > −s ∧ ∀t ∈ ¢ : (t = inf S ⇒ q ≠ −t)}
den zu S negativen Schnitt. Wir behaupten S + (−S) = 0. Zuerst müssen wir aber
zeigen, dass −S tatsächlich ein Schnitt ist.
Sei q ′ eine untere Schranke von S. Dann gilt ∀s ∈ S : q = q ′ − 1 < s und deshalb
∀s ∈ S : −q > −s, also ist −S nichtleer. Für ein beliebiges Element s ∈ S folgt,
dass jedes Element s ′ ∈ −S die Ungleichung s ′ ≥ −s erfüllem muss, also is −s eine
untere Schranke von −S.
Sei nun q ¢ ∈ \ (−S). Dann gibt es s ∈ S mit q ≤ −s, also −q ≥ s. Weil S ein
Schnitt ist, folgt −q ∈ S. Darum gilt aber ∀t ∈ (−S) : t > q. Das beweist S1.
S2 beweisen wir indirekt. Sei q ∈ (−S) gegeben mit ∀t ∈ (−S) : q ≤ t. Dann ist
q eine untere Schranke von −S, also ein Minimum und erst recht ein Infimum von
−S. Das ist aber unmöglich wegen der Definition von −S. Falls ˜s := inf S existiert,
dann ist −˜s das Supremum der Menge ˜S := {−s | s ∈ S}, des Komplements von
−S, und damit das Infimum von −S. Nach Definition ist −˜s /∈ (−S).
Sei x ∈ S + (−S), dann existieren s ∈ S und t ∈ −S mit s + t = x. Dass t ∈ −S
liegt, impliziert t > −s und damit auch x = s + t > 0. Daher ist S + (−S) ⊆ 0. Nun
sei y > 0. Wir suchen gemäß Proposition 5.4.10.(2) zwei rationale Zahlen q und r
mit q ∈ S, r ∈ Q \ S und q − r < y. Es gilt ∀s ∈ S : s > r, und daher ist −r ∈ −S.
Wir definieren r ′ := q − r und wissen r ′ < y, also y − r ′ > 0. Weil S ein Schnitt ist,
bedeutet das s := y − r ′ + q ∈ S. Setzen wir nun zusammen, so haben wir −r ∈ −S
und s ∈ S mit
−r + s = −r + y − r ′ + q = −r + y − q + r + q = y.
Das impliziert y ∈ S + (−S) und daher ist 0 = S + (−S).
Die Verträglichkeit von + und ≤, also O1 beweisen wir als nächstes (siehe Definition
5.3.1).
Proposition 5.4.18. Für je drei Elemente S, T und U von R gilt
S ≤ T =⇒ S + U ≤ T + U.
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