Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

daher
schreiben.
2.4. GLEICHUNGSUMFORMUNGEN IN BEWEISEN — STIL UND FALLEN 15
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 | + r 3 − r − 4 ⇐⇒
r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0 ⇐⇒
(r + 1) 3 = 0 | √ 3 ⇐⇒
r + 1 = 0 | − 1 ⇐⇒
r = −1
Auch bei Schlüssen von unten nach oben in einer Umformung müsste man die Implikationsrichtung
durch Setzes des entsprechenden Pfeils (⇐=) angeben. Schlüsse von unten
nach oben gelten nicht als guter mathematischer Stil und sollten daher unbedingt
vermieden werden. Machen Sie sich daher immer klar, womit eine Umformung beginnt
und was Sie abzuleiten gedenken. Wenn Sie die Rechnung vom Ergebnis zum Ausgangspunkt
hin durchführen, so kehren sie die Schlussweise in der Reinschrift um!
Welche Umformungen sind eigentlich erlaubt? Man darf auf beiden Seiten dasselbe addieren
(subtrahieren). Man darf auch beide Seiten mit demselben multiplizieren; Wie steht es mit
der Division?
Theorem 2.4.3 (Sinnlosigkeit der Zahlen). Alle Zahlen sind gleich.
Beweis. O.B.d.A. werden wir den Spezialfall 1 = 2 beweisen. Wir werden nur elementare
Umformungen benutzen. Wir beginnen mit reellen Zahlen a und b mit a = b.
Die Abkürzung O.B.d.A. steht für ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Korrekt verwendet
man sie zu Beginn eines Beweises oder Beweisteils. Damit wird der Leser auf zwei
Dinge aufmerksam gemacht. Einerseits soll nur ein Teil der Aussage bewiesen werden, und
andererseits ist der Autor des Beweises der Meinung, dass die Gesamtaussage einfach aus
dem Bewiesenen folgt. Es steckt also hinter o.B.d.A. ein weiterer mathematischer Satz ( ”
aus
dem tatsächlich Bewiesenen folgt die Aussage des Satzes“), und o.B.d.A. bedeutet dann,
dass diese Implikation nach Meinung des Autors trivial, also besonders einfach herzuleiten
ist.
Zusätzlich zur Beschränkung auf einen Sonderfall, aus dem schon die gesamte Aussage
folgt, kann man O.B.d.A. auch noch zur Vereinfachung der Bezeichnung oder zum Ausschließen
trivialer Sonderfälle verwenden. Beispiele zu diesen Verwendungen werden Sie in
späteren Beweisen finden.
a = b
a 2 = ab nach Multiplikation mit a
a 2 + a 2 = a 2 + ab nach Addition von a 2
2a 2 = a 2 + ab
2a 2 − 2ab = a 2 + ab − 2ab nach Subtraktion von 2ab
2a 2 − 2ab = a 2 − ab
2(a 2 − ab) = 1(a 2 − ab)
2 = 1 nach Division durch a 2 − ab,
woraus unsere Behauptung folgt.
□
Natürlich haben wir in diesem Beweis einen Fehler gemacht. Können Sie ihn entdecken?
An diesem Beispiel sieht man schön die kleine Falle, in die man tappen kann bei Verwendung
der Division als Äquivalenzumformung. Man muss sich immer überzeugen, dass
man nicht durch 0 dividiert wie im obigen Beweis, und 0 kann sich hinter komplizierten
Ausdrücken verbergen.