Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

2.5. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 23
Das beweist, dass die Formel der rekursiven Darstellung von ( n
k)
genügt. □
Zum Rechnen mit dieser Formel für ( n
k)
empfielt es sich, zu kürzen:
( n
k)
=
=
=
n!
k!(n − k)!
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
∏ k−1
k!
i=0
(n − i)
k!
Mit Hilfe der in Proposition 2.5.3 nachgewiesenen Formel lässt sich die Definition des Binomialkoeffizienten
wie folgt erweitern:
Definition 2.5.4. Der Binomialkoeffizient ist für α ∈ £ und k ∈ definiert durch:
( α
k)
=
=
α(α − 1) . . . (α − k + 1)
∏
k!
k−1
i=0
(α − i)
.
k!
Kehren wir nach diesem Ausflug in die Kombinatorik zum Binomischen Lehrsatz zurück,
den wir als Nächstes beweisen werden:
Proposition 2.5.5. Es gilt für a, b ∈ £ , n ∈ :
(a + b) n =
n∑
k=0
( n
k)
a k b n−k
Beweis. Zu zeigen:
∀n ∈ : ∀a, b ∈ £ : (a + b) n =
n∑
k=0
( n
k)
a k b n−k
Wir beweisen mittels vollständiger Induktion: Induktionsanfang:
(a + b) n =
mit n = 0:
(a + b) 0 =
1 =
n∑
k=0
( n
k)
a k b n−k
0∑
( 0
a
k)
k b 0−k
( k=0
0
a
0)
0 b 0 = 1 · 1 · 1 = 1
Induktionsannahme:
∀k ∈ mit k ≤ n : (a + b) k =
k∑
j=0
( k
j)
a j b k−j