Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

66 4. ALGEBRA
Beispiel 4.2.3.
• Wie schon erwartet bilden die Mengen W , S, T und D mit den in Beispiel 4.1.1
definierten Verknüpfungen Halbgruppen, ebenso wie Abb(M).
• Natürlich sind auch ( , +), ( , ·), (¡ , +), (¡ , ·) und (£ , +) und (£ , ·) Halbgruppen.
• Auch (M 2 (£ ), +) und (M 2 (£ ), ·) sind Halbgruppen.
• Keine Halbgruppe ist etwa die Menge (F P 2 , ⊕) der Gleitkommazahlen mit der Addition
mit Runden.
• Immer nach der Einführung einer Struktur kann man untersuchen, welche Objekte
diese Struktur beschreibt. Meist kann man schnell sehr einfach gebaute Objekte finden,
die dazu passen. Abgesehen von der Halbgruppe, die nur ein Element besitzt,
gibt es auch noch eine andere ”
triviale“ Halbgruppe. Sei nämlich M eine beliebige
Menge und m ∈ M ein Element, dann definiert m 1 ◦ m 2 := m für alle m 1 , m 2 ∈ M
eine assoziative Verknüpfung auf M, also eine Halbgruppe, die wir hier mit Triv(M)
bezeichnen wollen.
Wenn wir die mathematischen Beispiele , ¡ und £ betrachten, dann wissen wir aus
unserer Erfahrung, dass es die speziellen Elemente 0 und 1 gibt, die bei Addition bzw.
Multiplikation spezielles Verhalten zeigen.
Definition 4.2.4. Sei (G, ◦) ein Gruppoid. Ein Element e ∈ G heißt Linkseinselement
(linksneutrales Element), falls die Beziehung
∀g ∈ G : e ◦ g = g
stimmt.
Das Element e ∈ G heißt Rechtseinselement (rechtsneutrales Element), wenn sich
bei Verknüpfung von rechts nichts ändert:
∀g ∈ G : g ◦ e = g
Das Element e ∈ G heißt Einselement oder neutrales Element, falls es Links- und
Rechtseinselement ist. Wird die Verknüpfung mit + bezeichnet (additiv geschrieben), so bezeichnet
man e oft mit 0 oder und nennt es Nullelement. Einselemente bezüglich multiplikativ
geschriebener Verknüpfungen erhalten auch oft die Bezeichung 1 ¨ oder .
Beispiel 4.2.5.
• Für die Addition von Zahlen ist klarerweise 0 das Nullelement, und für die Multiplikation
von Zahlen ist 1 das Einselement.
• Die Menge T enthält die Translation der Länge 0, welche das Objekt nicht von der
Stelle bewegt. Sie ist das Einselement von T .
• Die Drehung um 0 Grad (die Achse ist dabei unerheblich) ist das Einselement der
Halbgruppe D.
• In der Menge der ¨ Abbildungen Abb(M) bildet die Identität M auf M das Einselement.
• Führt man nicht künstlich leere Hauptwörter oder leere Strichblöcke ein, so enthalten
W und S keine ( neutralen ) Elemente.
0 0
• Die Nullmatrix ist das Nullelement von (M
0 0
2 ), (£ +).
( )
1 0
• Auch (M 2 ), ·) hat ein (£
Einselement, nämlich die Einheitsmatrix .
0 1
• Die Menge F P 2 hat allerdings eine Nullelement. Die Zahl 0 ist in F P 2 enthalten
und besitzt alle Eigenschaften eines neutralen Elements.