Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

3.3. MENGEN 57
Aleph; die Mächtigkeit von ist also Aleph-Null) und nennen jede Menge, die gleich mächtig
mit ist, also Kardinalität ℵ 0 hat, abzählbar.
Cantor hat auch schon knapp vor der Jahrhundertwende bewiesen, dass × abzählbar
ist.
(0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) · · ·
(0, 1) (1, 1) (2, 1) · · ·
(0, 2) (1, 2) · · ·
(0, 3) · · ·
.
...
Eine Formel für die Zuordnung ist
f : (i, j) ↦→ 1 (i + j)(i + j + 1) + j.
2
Nachdem die ¢ rationalen Zahlen als Teilmenge von × aufgefasst werden können (q =
± m für zwei teilerfremde natürliche Zahlen m und n ≠ 0), ist also ¢ auch abzählbar. Auch die
n
Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar. Das kann man
mit Hilfe des gleichen Prinzips beweisen (schreibe in Gedanken alle Mengen untereinander
auf und konstruiere die Bijektion analog zur Diagonalabzählung).
Cantor hat aber auch bewiesen, dass es verschiedene Größenklassen von Mengen gibt. So
ist etwa §
die Potenzmenge M einer Menge M immer mächtiger als M selbst.
Interessant ist, dass die £ reellen Zahlen mächtiger sind als . Die reellen Zahlen sind
überabzählbar. Das hat ebenfalls Cantor gezeigt.
Cantor hat bewiesen, dass ] 0, 1 [ überabzählbar ist. Die Tatsache, dass ] 0, 1 [ die gleiche
£ Mächtigkeit wie hat, ist einfach zu zeigen. So bildet etwa die Funktion 1 (arctan(x) + π)
π 2
ganz bijektiv auf ] 0, 1 [ ab. Zum Beweis der Überabzählbarkeit verwenden wir die Tatsache,
£
dass sich jede reelle Zahl r als Dezimalentwicklung aufschreiben lässt, und dann gehen wir
indirekt vor. Angenommen, es gäbe eine Bijektion b von auf ] 0, 1 [. Dann stellen wir
uns vor, dass wir alle Zahlen in der Reihenfolge untereinander schreiben wie sie durch die
Bijektion auf gegeben ist. Im nachfolgenden Diagramm mögen die a ij für Dezimalziffern
stehen. Die oberste Reihe repräsentiere die Dezimalentwicklung der ersten Zahl, die nächste
Zeile die der zweiten, £ usw. Wäre abzählbar, so müsste in diesem Schema jede reelle Zahl
aus ] 0, 1 [ irgendwo auftauchen.
0 : 0, a 01 a 02 a 03 a 04 a 05 a 06 · · ·
1 : 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 · · ·
2 : 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 · · ·
3 : 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 · · ·
4 : 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 · · ·
5 : 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 · · ·
. . . . . . . .
...