Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

16 2. GRUNDLAGEN
2.4.2. Anwendung von Funktionen. Man kann nicht nur auf beiden Seiten der Gleichung
elementare arithmetische Operationen ausführen, sondern man kann auch versuchen,
geeignete Funktionen anzuwenden um zu vereinfachen. Besonders beliebt sind Umkehrfunktionen
von Funktionen, die auf beiden Seiten der Gleichung auftauchen.
Ein einfaches Beispiel bietet die nächste Umformungskette, in der wir im ersten Schritt
die Umkehrfunktion log der Exponentialfunktion angewendet haben.
e 3x+4 = e x−2
3x + 4 = x − 2
2x = −6
x = −3
| log
in der Mathematik wird der natürliche Logarithmus üblicherweise mit log und nicht mit ln
bezeichnet.
Theorem 2.4.4 (Sinnlosigkeit der Zahlen — 2. Versuch). Alle Zahlen sind gleich.
Beweis. O.B.d.A werden wir den Spezialfall 4 = 5 beweisen:
−20 = −20
16 − 36 = 25 − 45
16 − 36 + 81 = 25 − 45 + 81 4 4
4 2 − 2 · 4 · 9 + ( )
9 2
2 2 = 5 2 − 2 · 5 · 9 + ( )
9 2
2 2
( )
4 −
9 2 ( )
2 = 5 −
9 2
weil (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
2
4 − 9 = 5 − 9 2 2
4 = 5,
womit die Sinnlosigkeit des Zahlbegriffes erwiesen ist.
□
Offensichtlich steckt in diesem Beweis ein Fehler, denn die Ungültigkeit des Satzes steht
wohl außer Zweifel. Können Sie den Fehler entdecken?
Die falsche Umformung steht in der vorletzten Zeile: Das Ziehen der Quadratwurzel ist
keine Äquivalenzumformung! Möchte man eine Gleichung durch Wurzel Ziehen umformen,
so muss man sich zuvor überzeugen, dass die Vorzeichen auf beiden Seiten überein stimmen.
Dies ist im obigen Beispiel nicht der Fall, und daher hätten wir schreiben müssen
( )
4 −
9 2 (
2 = 5 −
9 2
2)
⇐=
4 − 9 = 5 − 9.
2 2
Allgemein muss man bei der Anwendung von Umkehrfunktionen f −1 darauf achten, dass
die Funktion f, die man ”
entfernen“ möchte, injektiv ist, auf den Definitionsbereichen beider
Seiten der Gleichung.
Beispiel 2.4.5. Normalerweise ist das Quadratwurzel Ziehen nicht erlaubt, weil die
Funktion f(x) = x 2 +
nicht injektiv ist als £ Abbildung £ f : → 0 . Schränken wir aber f
+ +
£
auf eine £
Abbildung 0 → 0 ein, dann ist f injektiv, und wir können gefahrlos Wurzel
ziehen.