Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

50 3. LOGIK, MENGENLEHRE
Beispiel 3.3.33. Sei ¡ auf die Relation
n ∼ p m : ⇐⇒ ∃k ¡ ∈
mit n = m + kp
gegeben. Dies ist eine Äquivalenzrelation:
Reflexivität: m ∼ p m, weil m = m + 0p,
Symmetrie: Ist n ∼ p m, so finden wir ein k ¡ ∈ mit n = m + kp, und durch
Umformen finden wir m = n + (−k)p. Damit gilt aber m ∼ p n.
Transitivität: Gelten n 1 ∼ p n 2 und n 2 ∼ p n 3 , so finden wir k 1 und k 2 mit n 1 =
n 2 + k 1 p und n 2 = n 3 + k 2 p. Setzen wir die Gleichungen zusammen, finden wir
n 1 = n 3 + (k 1 + k 2 )p, und k 1 + k 2 ist als Summe ganzer Zahlen eine ganze Zahl.
Deshalb folgt n 1 ∼ p n 3 .
Diese Äquivalenzrelation erzeugt genau p Äquivalenzklassen
0 = {0, ±p, ±2p, ±3p, . . . }
1 = {1, 1 ± p, 1 ± 2p, 1 ± 3p, . . . }
.
.
p − 1 = {−1, −1 ± p, −1 ± 2p, −1 ± 3p, . . . }.
Die p-elementige Faktormenge ¡ / ∼p wird in der Mathematik üblicherweise mit ¡ p bezeichnet,
und man nennt sie die Restklassen modulo p.
3.3.2.2. Ordnungsrelation. Die zweite große Klasse von Relationen dient dazu, Mengen
zu ordnen.
Definition 3.3.34. Eine reflexive und transitive Relation ≼ auf M heißt Halbordnung,
falls sie die folgende zusätzliche Eigenschaft erfüllt:
Antisymmetrie: Die Beziehungen a ≼ b und b ≼ a implizieren schon Gleichheit
a = b. In Symbolen ist
a ≼ b ∧ b ≼ a =⇒ a = b.
Gilt für zwei Elemente von M weder x ≼ y noch y ≼ x, so sagt man x und y sind nicht
vergleichbar (bezüglich ≼). Andernfalls nennt man die beiden Elemente vergleichbar.
Sind je zwei Elemente von M vergleichbar, gilt also für je zwei Elemente x, y ∈ M wenigstens
eine der Relationen x ≼ y oder y ≼ x, so nennt man die Relation eine Totalordnung
oder schlicht Ordnung auf M.
Betrachten wir eine Menge M zusammen mit einer Ordnungsrelation ≼, so nennen wir
das Paar (M, ≼) auch geordnete Menge.
Definition 3.3.35. Um mit Ordnungsrelationen leichter hantieren zu können, müssen
wir einige Schreibweisen definieren. Gilt x ≼ y, so schreiben wir auch manchmal y ≽ x.
Haben wir x ≼ y und gilt x ≠ y, so kürzen wir ab zu x ≺ y. Analog definieren wir y ≻ x.
Beispiel 3.3.36. Das bekannteste Beispiel für eine Ordnungsrelation (eine Totalordnung)
ist die Beziehung ≤ auf den reellen Zahlen £ .
Sei M die Menge aller Menschen. Wir definieren die Relation ≺ durch A ≺ B, wenn
B ein Vorfahre von A ist. Die entstehende Relation ≼ ist klarerweise reflexiv und transitiv.
Die Antisymmetrie folgt aus der Tatsache, dass kein Mensch Vorfahre von sich selbst sein
kann. Es gibt aber Paare von Menschen, die nicht miteinander vergleichbar sind, für die also
weder A ≼ B noch A ≽ B gelten. Die Relation ”
Ist Vorfahre von“ ist also eine Halbordnung
auf M.
So wie eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M eine Struktur definiert, die wichtige
Folgestrukturen entstehen lässt, erzeugt auch eine Ordnungsrelation auf M Folgebegriffe.