Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

5.3. DIE RATIONALEN ZAHLEN 93
(2) Sind m = [(m 1 , m 2 )], n = [(n 1 , n 2 )] und k = [(k 1 , k 2 )], so erhalten wir wegen Theorem
5.1.7
m ≤ n
[(m 1 , m 2 )] ≤ [(n 1 , n 2 )]
m 1 + n 2 ≤ m 2 + n 1
m 1 + k 1 + n 2 + k 2 ≤ m 2 + k 2 + n 1 + k 1
[(m 1 + k 1 , m 2 + k 2 )] ≤ [(n 1 + k 1 , n 2 + k 2 )]
m + k ≤ n + k
(3) Dies folgt aus Theorem 5.1.7.(4) und der Nullteilerfreiheit.
(4) Ist m ≥ 0, so folgt aus Theorem 5.1.7.(4) sofort km ≥ 0 = k0. Gilt nun m ≤ n, so
folgt aus (2) 0 ≤ n − m und aus dem schon bewiesenen 0 ≤ k(n − m) = kn − km
und wir erhalten wieder aus (2) die gesuchte Ungleichung km ≤ kn.
(5) Für k ≤ 0 ist −k ≥ 0 und alles weitere folgt aus (4).
(6) Gilt km ≤ kn, so erhalten wir aus (2) die Beziehung 0 ≤ k(n − m). Weil k > 0 gilt,
können wir aus Theorem 5.1.7.(5) 0 ≤ n − m und damit wegen (2) m ≤ n schließen.
Proposition 5.2.4. Ist k ≠ 0, so folgt aus km = kn schon m = n für beliebige m, n ∈ ¡ .
Beweis. Es gilt km = kn =⇒ 0 = km − kn =⇒ 0 = k(m − n). Weil k ≠ 0 gilt, muss
wegen der Nullteilerfreiheit m − n = 0, also m = n gelten.
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5.3. Die rationalen ¢ Zahlen
Die rationalen Zahlen sind eine weiter, die nächst umfassendere von früher bekannte
Zahlenmenge. Ebenso wie man die ganzen Zahlen konstruiert, um die Subtraktion für alle
Zahlen durchführen zu können, muss man für die Umkehrung der Multiplikation wieder die
Zahlenmenge erweitern.
Man geht von den ganzen Zahlen zu den Bruchzahlen über. Man führt also Ausdrücke
der Form
q = m n
ein. Hier entdeckt man die ersten beiden Schwierigkeiten, auf die man bei der naiven Einführung
der ganzen Zahlen nicht gestoßen ist. Erstens schafft man es nicht, dem Ausdruck m Sinn 0
zu geben, ohne Widersprüche zu verursachen. Zweitens bemerkt man, dass es notwendig ist,
Ausdrücke der Form m km
und für gleich zu erklären ( 1 = 2 ). Mathematisch heißt das, man
n kn 2 4
muss ¢
bei der Einführung von Äquivalenzklassen bilden und die Null im Nenner verbieten!
Man definiert also als die Äquivalenzklassen von Brüchen der Form m ganzer Zahlen
¢
n
mit n ≠ 0. Man findet, dass es in jeder Äquivalenzklasse einen Bruch gibt, sodass m und n
teilerfremd sind und weiters n > 0 gilt.
Zusammen mit der Addition ¢ + und · bildet einen ¢ Körper. Außerdem ist auf eine
Ordnungsrelation ¢
≤ definiert, für die ein geordneter Körper ist.
Definition 5.3.1. Ein Körper (K, +, ·), der auch eine geordnete Menge (K, ≤) ist, heißt
geordneter Körper, falls die Eigenschaften
O1: ∀q, r, s ∈ K : (q ≤ r ⇒ q + s ≤ r + s),
O2: ∀q, r ∈ K : ((q > 0 ∧ r > 0) ⇒ qr > 0).
erfüllt sind. Wir schreiben dann (K, +, ·, ≤).