Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

76 4. ALGEBRA
Genau wie für Gruppen können wir auch für Ringe Teilstrukturen definieren.
Definition 4.3.8. Eine Teilmenge S ⊆ R eines Ringes (R, +, ·) heißt Teilring (Unterring)
von R, falls (S, +, ·) mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring ist.
Man muss zur Überprüfung der Tatsache, ob eine Teilmenge eines Rings ein Unterring ist,
glücklicherweise nicht alle Ringeigenschaften nachprüfen. Im wesentlichen genügt es nämlich
zu zeigen, dass die Verknüpfungen aus der Teilmenge nicht hinausführen.
Proposition 4.3.9. Eine Teilmenge S eines Ringes R ist ein Unterring genau dann,
wenn für alle r, s ∈ R die Elemente r − s und rs in S liegen.
Ist R kommutativ, dann auch S.
Beweis. Weil für r, s ∈ S schon r − s ∈ S folgt, wissen wir aus Proposition 4.2.24, dass
(S, +) eine abelsche Gruppe ist (eine Untergruppe von (R, +)). Die Verknüpfung · ist in H
abgeschlossen, denn das haben wir vorausgesetzt. Weil aber das Assoziativgesetz und die
Distributivgesetze für alle Elemente in R gelten, stimmen sie erst recht für alle Elemente
von S. Daher ist S ein Ring.
Die Aussage über Kommutativität ist offensichtlich.
□
Beispiel 4.3.10. Für zwei ganze Zahlen p und q wissen wir folgende Eigenschaft: Sind
p ≠ 0 und q ≠ 0, dann ist auch pq ≠ 0. Auch die Menge der reellen Zahlen erfüllt das.
In den 2 × 2–Matrizen können wir so schnell nicht schließen. Es gilt nämlich
( ) ( ) ( )
0 1 0 2 0 0
· = .
0 0 0 0 0 0
In M 2 ) ist also das Produkt von Null verschiedener Elemente nicht notwendigerweise auch
(£
von Null verschieden.
Definition 4.3.11. Ein kommutativer Ring mit Einselement (R, +, ·, 0, 1) heißt Integritätsbereich,
wenn für je zwei Elemente r, s ∈ R aus rs = 0 schon r = 0 oder s = 0
folgt.
Anders ausgedrückt, besitzt R keine so genannten Nullteiler. Nullteiler sind Elemente
r, s ≠ 0 mit rs = 0.
Beispiel 4.3.12. Die ganzen (¡ Zahlen , +, ·, 0, 1) sind ein Integritätsbereich, ebenso die
reellen (£ Zahlen , +, ·, 0, 1).
Die Matrizen M 2 ) sind kein Integritätsbereich, denn die Multiplikation ist nicht kommutativ,
und M 2 ) ist nicht nullteilerfrei.
(£
(£
Wie zu den Gruppen gehören auch zu den Ringen bestimmte Abbildungen, die sich mit
der Struktur vertragen. Es ist immer das gleiche Prinzip. Ein Ring ist eine Gruppe mit
noch etwas, also ist ein Ringhomomorphismus ein Gruppenhomomorphismus mit noch ein
bisschen mehr.
Definition 4.3.13. Seien (R, +, ·) und (S, ⊕, ⊗) zwei Ringe. Ein Ringhomomorphismus
ist ein Gruppenhomomorphismus f : (R, +) → (S, ⊕), für den zusätzlich noch
∀r, r ′ ∈ R : f(rr ′ ) = f(r) ⊗ f(r ′ )
gilt, der also außerdem noch ein Halbgruppenhomorphismus (R, ·) → (S, ⊗) ist.
Ist f bijektiv, dann heißt f Ringisomorphismus und man sagt, R und S sind isomorph.
Beispiel 4.3.14. Die Abbildung £ ι : → M 2 ), die jeder reellen Zahl r die (£
( )
Matrix
r 0
zuordnet, ist ein Ringhomomorphismus von (£ , +, ·) nach (M
0 r
2 ), +, ·). Es gilt
(£