Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

88 5. ZAHLENMENGEN
(m · n) + m = (n · m) + m = S(n) · m. Hier haben wir die Definition und BH5
verwendet. Es ist also M = wegen Korollar 5.1.2.
DG: ∀k, m, n ∈ : k · (m + n) = (k · m) + (k · n).
Sei M = {k ∈ | ∀m, n ∈ : k · (m + n) = (k · m) + (k · n)}. Dann ist 0 ∈ M wegen
0 · (m + n) = 0 = 0 + 0 = (0 · m) + (0 · n). Haben wir k ∈ M, so ist auch S(k) ∈ M
wegen Definitionen, Eigenschaften von + und BH4
S(k) · (m + n) = (k · (m + n)) + (m + n) = (k · m) + (k · n) + m + n =
= (k · m) + m + (k · n) + n = (S(k) · m) + (S(k) · n).
Aus Korollar 5.1.2 erhalten wir M = .
AG(·): ∀k, m, n ∈ : (k · m) · n = k · (m · n).
Setzen wir diesmal M := {n ∈ | ∀k, m ∈ : (k · m) · n = k · (m · n)}. Es ist 0 ∈ M
erfüllt, weil (k · m) · 0 = 0 = k · 0 = k · (m · 0). Ist nun n ∈ M und sind k, m ∈
beliebig, so rechnen wir nach dem zuvor bewiesenen
(k · m) · S(n) = ((k · m) · n) + (k · m) = (k · (m · n)) + (k · m) =
= k · ((m · n) + m) = k · (m · S(n)).
Verwenden wir ein letztes Mal Korollar 5.1.2, so erhalten wir M = .
Somit haben wir alle erforderlichen Eigenschaften eines kommutativen Halbrings mit 0 und
1 nachgewiesen. □
Die Vorrangregel · vor + führen wir ein, um uns überflüssige Klammerung zu ersparen.
Wir haben nun die natürlichen Zahlen mit ihren Rechenoperationen eingeführt. Wir lassen in
Zukunft auch das Multiplikationszeichen weg, wenn dadurch keine Zweideutigkeit entsteht.
Theorem 5.1.7. Die Ordnungsrelation ≤ und die arithmetischen Operationen + und ·
sind verträglich.
(1) ∀k, m, n ∈ : (m ≤ n ⇒ k + m ≤ k + n),
(2) ∀k, l, m, n ∈ : ((m ≤ n ∧ k ≤ l) ⇒ k + m ≤ l + n),
(3) ∀k, m, n ∈ : (n + k ≤ n + m ⇒ k ≤ m),
(4) ∀k, m, n ∈ : (m ≤ n ⇒ km ≤ kn),
(5) ∀k, m, n ∈ : ((n ≠ 0 ∧ nk ≤ nm) ⇒ k ≤ m).
Beweis. Im gesamten Beweis definieren wir eine Menge M und beweisen 0 ∈ M und
die Implikation n ∈ M =⇒ S(n) ∈ M. Dann verwenden wir Korollar 5.1.2, um M = zu
schließen.
Zu Beginn beweisen wir die Hilfsbehauptung ∀m, n ∈ : (m ≤ n ⇔ S(m) ≤ S(n))). Es
gelten
und
m ≤ n ⇒ m ∈ n ∨ m = n ⇒ S(m) ⊆ n ∨ S(m) = S(n) ⇒
⇒ (S(m) ⊆ S(n) ∧ S(m) ≠ S(n)) ∨ S(m) = S(n) ⇒
⇒ S(m) ∈ S(n) ∨ S(m) = S(n) ⇒ S(m) ≤ S(n).
S(m) ≤ S(n) ⇒ S(m) ∈ S(n) ∨ S(m) = S(n) ⇒ S(m) ∈ n ∪ {n} ∨ m = n ⇒
⇒ S(m) ∈ n ∨ S(m) = n ∨ m = n ⇒ m ∈ n ∨ m = n ⇒ m ≤ n,
was die Hilfsbehauptung zeigt.
(1) M := {k ∈ | ∀m, n ∈ : (m ≤ n ⇒ k + m ≤ k + n)}. Trivial ist 0 ∈ M. Für
k ∈ M wissen wir
m ≤ n ⇒ k + m ≤ k + n ⇒ S(k + m) ≤ S(k + n) ⇒ S(k) + m ≤ S(k) + n.