Einführung in das mathematische Arbeiten - an der Fakultät für ...

94 5. ZAHLENMENGEN
Die Ordnungsrelation muss also mit den Rechenoperationen verträglich sein. Aus den
Ordnungsaxiomen können wir auch bereits die bekannten Rechengesetze für Ungleichungen
herleiten, wie ”
das Ungleichheitszeichen dreht sich um, wenn man mit einer negativen Zahl
multipliziert“.
Proposition 5.3.2. In einem geordneten Körper (K, +, ·, ≤) gelten folgende Aussagen.
(1) Ist x ≥ 0 dann gilt −x ≤ 0.
(2) Ist x ≥ 0 und y ≤ z, dann folgt xy ≤ xz.
(3) Gelten x < 0 und y ≤ z, so ist xy ≥ xz.
(4) Für x ≠ 0 ist x 2 > 0 und daher 1 > 0.
(5) Ist 0 < x < y, dann folgt 0 < y −1 < x −1 .
Beweis.
(1) x ≤ 0 =⇒ (−x) + x ≤ 0 + (−x) =⇒ 0 ≤ −x.
(2) Für y = z wissen wir xy = xz. Ist y < z, so ist 0 < z − y. Für x = 0 gilt
wieder 0 = xy = xz = 0. Ist schließlich x > 0, dann folgt aus Definition 5.3.1
0 < x(z − y) = xz − xy und somit ist xy < xz.
(3) Dies folgt aus (1) und (2).
(4) Ist x > 0, so gilt x 2 = x · x > 0 wegen der Definition. Für x < 0 ist −x > 0 und
x 2 = (−x)(−x) > 0. Es ist 1 ≠ 0 und 1 2 = 1.
(5) Ist x > 0, so ist x −1 > 0. Wäre das nicht so, hätten wir 1 = xx −1 < 0 im Widerspruch
zu (4). Gilt 0 < x < y, so wissen wir x −1 y −1 > 0, und daher folgt
x < y
x(x −1 y −1 ) < y(x −1 y −1 )
y −1 < x −1 .
Proposition 5.3.3. Die Menge ist in ¢ nach oben unbeschränkt.
Beweis. Angenommen, sei ¢ in beschränkt. Dann existieren positive natürliche Zahlen
k und m mit der Eigenschaft, dass ∀n ∈ : n ≤ m . Das ist gleichbedeutend mit der Aussage,
k
dass ∀n ∈ : nk ≤ m wegen Proposition 5.3.2.(2). Nachdem k positiv ist, muss nk ≥ n sein,
weil k ≥ 1 gilt (k = k ′ +1, daher nk = nk ′ +n mit n ≥ 0 und k ′ ≥ 0, also nk ′ ≥ 0, was nk ≥ n
impliziert) und daher existiert eine positive natürliche Zahl m so, dass ∀n ∈ : n ≤ m. Es
ist aber m + 1 > m, ein Widerspruch. Daher ist ¢ in unbeschränkt. □
|¢ ¢ Die Menge Q ist abzählbar. Es gilt also | = ℵ 0 . Außerdem besitzt keinen nichttrivialen
Unterkörper.
5.3.1. Mengentheoretische Konstruktion von ¢ . Wenn wir die ganzen Zahlen konstruiert
haben, steht uns nichts im Wege, dieselbe Konstruktion so ähnlich noch einmal
durchzuführen. Im folgenden bezeichne ¡ + := {n ∈ ¡ | n > 0} die Menge der positiven
Elemente in ¡ , also der natürlichen Zahlen ungleich 0.
Betrachten wir auf der Menge ¡ × ¡ + die Relation
(m 1 , m 2 ) ∼ (n 1 , n 2 ) : ⇐⇒ m 1 n 2 = m 2 n 1 .
Insbesondere gilt für jede positive natürliche Zahl n die Relation (m 1 , m 2 ) ∼ (nm 1 , nm 2 ).
Proposition 5.3.4. Es gilt wieder ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf ¡ × ¡ +.
Beweis.
Reflexivität: ist offensichtlich,
Symmetrie: erfüllt, weil Definition symmetrisch ist,
□