Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

6 Kapitel 1 Random Walks auf GruppenEine stationäre Verteilung der Markov-Kette X ist die Gleichverteilungdef ∑U G = 1|G| x∈G δ x auf (G, P(G)), denn für alle x ∈ G giltU G ∗ Q({x}) = ∑ y∈GU G ({y})Q({y −1 x}) = 1|G| .Zusammen mit der Endlichkeit von G und Korollar 10.7. in [4] erhalten wir unmittelbarden folgenden Satz.1.1.5 Satz. Sei G eine endliche Gruppe, Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf(G, P(G)), dessen Träger supp(Q) die Gruppe G erzeugt, und X = (X m ) m≥0 eineMarkov-Kette mit Übergangskern K Q und beliebiger Anfangsverteilung. Dann istX positiv rekurrent und besitzt die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung U G .Die Totalvariation oder der Variationsabstand zweier Maße Q 1 und Q 2 auf(G, P(G)) ist definiert als‖Q 1 − Q 2 ‖ def= sup |Q 1 (A) − Q 2 (A)| = 1A⊂G2∑∣ Q1 ({x}) − Q 2 ({x}) ∣ .Ist ein (Q, λ)-Random Walk X auf G irreduzibel und aperiodisch, so konvergiertX nach Satz 1.1.5 und dem Ergodensatz (siehe Satz 11.1. in [4]) für jedeAnfangsverteilung λ in Totalvariation gegen die Gleichverteilung U G auf G, dasheißtx∈Glim ‖P Xm − U G ‖ = lim ‖λ ∗m→∞ m→∞ Q∗(m) − U G ‖ = 0.1.2 Die Gruppe S n der PermutationenIn diesem Abschnitt sei n ∈ N und S n{1, . . . , n}, das heißtdie Gruppe der Permutationen vonS n = {π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | π bijektiv}.Eine Permutation π ∈ S n wird gewöhnlich in der Form()1 2 · · · nπ =π(1) π(2) · · · π(n)