Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.1 Modelle für den Riffle Shuffle 212.1.4 Bemerkung. Q G a,n ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (S n , P(S n )).Beweis. Es ist zu zeigen, dass X G aQ G - f. s. S n -wertig ist, alsoQ G a,n(S n ) = Q G (R ◦ f a ◦ T ◦ X ∈ N n ≤n,≠) = 1. (2.1.10)Dies ist genau dann der Fall, wenn Q G (f a ◦ T ◦ X ∈ [0, 1) n≠) = 1 gilt. Sei(x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n , dann giltund somitDa f (1)af a (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1) n≠ ⇐⇒ f a(x (1) , . . . , x (n) ) ∈ [0, 1) n≠Q G (f a ◦ T ◦ X ∈ [0, 1) n≠ ) = Q G(f a ◦ X ∈ [0, 1) n≠ ).(X 1 ), . . . , f a(n) (X n ) nach Bemerkung 2.1.3 stochastisch unabhängig und stetigverteilt sind, ergibt sich Q G (f a ◦ X ∈ [0, 1) n≠) = 1 und daraus (2.1.10).2.1.5 Lemma. Sei a ∈ N und x, y ∈ [ i−1a , i a)für ein i ∈ N, dann giltx < y ⇐⇒ ax (mod 1) < ay (mod 1).Beweis. Seien x 0 , y 0 ∈ [i − 1, i) für ein i ∈ N. Dann gilt wegen ⌊x 0 ⌋ = ⌊y 0 ⌋x 0 < y 0 ⇐⇒ x 0 − y 0 < ⌊x 0 ⌋ − ⌊y 0 ⌋⇐⇒ x 0 − ⌊x 0 ⌋ < y 0 − ⌊y 0 ⌋⇐⇒ x 0 (mod 1) < y 0 (mod 1).Die Behauptung folgt, indem wir x 0 = ax und y 0 = ay setzen.Wir führen nun die Funktion J a = (J 1 , . . . , J a ) : [0, 1] n −→ ∑ anein, indem wirfür (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1] n und i = 1, . . . , n definierenJ i ((x 1 , . . . , x n )) def= |{j | x j ∈ [ i−1a , i a)}|.Mit Lemma 2.1.5 erhalten wir die folgende Interpretation eines durch eine Realisationx = (x 1 , . . . , x n ) der Zufallsvariablen X = (X 1 , . . . , X n ) gegebenen Mischvorgangs(R ◦ f a ◦ T ) ((x 1 , . . . , x n )) (siehe auch Abbildung 2.3):