Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.2 Aufsteigende Sequenzen 412.2.8 Satz. Seien n ∈ N und a ∈ N ≥2 fest und (X m ) m≥0 ein Q a,n -Random Walkauf S n . Dann konvergieren die Verteilungen von X m in Totalvariation gegen dieGleichverteilung U Snauf S n , das heißtlim ‖P Xm − U Sn ‖ = limm→∞ m→∞ ‖Q∗(m) a,n − U Sn ‖ = 0.Beweis. X = (X m ) m≥0 ist eine endliche Markov-Kette. Nach dem Ergodensatzreicht es daher zu zeigen, dass X (a) irreduzibel und (b) aperiodisch ist. Da fürn = 1 nichts zu zeigen ist, sei n ≥ 2 und a ≥ 2.zu (a): Jede Transposition [i, i+1] Z ∈ S n mit i ≤ n−1 zerfällt in zwei Sequenzen((1, 1), . . . , (i − 1, i − 1), (i + 1, i))und((i, i + 1), (i + 2, i + 2), . . . , (n, n)),was [i, i + 1] Z ∈ supp(Q a,n ) vermöge Korollar 2.2.7 impliziert.Sei [i, j] Z eine Transposition mit |i − j| > 1. Wegen [i, j] Z = [j, i] Z können wiri < j annehmen. Dann hat [i, j] Z die drei aufeinanderfolgenden Sequenzen( ) ( )(1, 1), . . . , (i − 1, i − 1), (j, i) , (i + 1, i + 1), . . . , (j − 1, j − 1) und( )(i, j), (j + 1, j + 1), . . . , (n, n) .Definieren wir nun zwei Permutationen π 1 , π 2 ∈ S n durch()def 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · nπ 2 =und1 · · · i − 1 i i + 2 · · · j i + 1 j + 1 · · · n()def 1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · nπ 1 =,1 · · · i − 1 j i · · · j − 2 j − 1 j + 1 · · · nso gilt()1 · · · i − 1 i i + 1 · · · j − 1 j j + 1 · · · nπ 1 ◦ π 2 == [i, j] Z1 · · · i − 1 j i + 1 · · · j − 1 i j + 1 · · · nund R(π 1 ) = R(π 2 ) = 2. Also folgt wiederum mit Korollar 2.2.7[i, j] Z ∈ (supp(Q a,n )) ◦(2) = {π ◦ σ | π, σ ∈ supp(Q a,n )}.Insgesamt gilt dann T n ⊂ (supp(Q a,n )) ◦(2) und somit wegen (1.2.1)〈supp(Q a,n )〉 = S n . Also ist X nach Satz 1.1.3 (a) irreduzibel.