Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.2 Aufsteigende Sequenzen 33Eine aufsteigende Sequenz von π ∈ S n kann somit auch als maximal aufsteigendeTeilkette von π bezeichet werden. Jede Permutation π zerfällt vollständig inaufsteigende Sequenzen und ist durch Angabe aller ihrer aufsteigenden Sequenzeneindeutig festgelegt. Wir sagen, die Sequenz ( (i k+1 , π(i k+1 )), . . . , (i l , π(i l )) ) folgtauf die Sequenz ( (i 1 , π(i 1 )), . . . , (i k , π(i k )) ) , falls π(i k )+1 = π(i k+1 ) gilt. Aufgrundvon Definition 2.2.1 gilt dann notwendigerweise i k+1 > i k , das heißt die beidenSequenzen lassen sich nicht zu einer einzelnen Sequenz vereinen.Aufsteigende Sequenzen sind eng mit den Sprungstellen einer Permutation verbunden.2.2.2 Definition. Sei π ∈ S n und i ∈ {1, . . . , n − 1}. Die Permutation π hat eineSprungstelle oder einen Descent in i, falls π(i) > π(i + 1).Sei R n,kdef= {π ∈ S n | π hat k aufsteigende Sequenzen}, k = 1, . . . , n, undD n,kdef= {π ∈ S n |π hat k Descente }, k = 1, . . . , n−1. Wir definieren die FunktionenR n , D n : S n −→ N ≤n für π ∈ S n durchR n (π) = r ⇐⇒ π ∈ R n,r undD n (π) = r ⇐⇒ π ∈ D n,r .Wir setzen von nun an R = R n und D = D n . Aufgrund von Definition 2.2.1und 2.2.2 gilt R(S n ) = {1, . . . , n}, D(S n ) = {1, . . . , n − 1} und für π ∈ S nD(π) = |{i ≤ n − 1 | π(i) > π(i + 1)}|.2.2.3 Beispiel. Für die Permutation π = [4, 1, 2, 5, 7, 3, 6, 8] ∈ S 8 gilt R(π) = 3,denn π hat die drei aufeinanderfolgenden aufsteigenden Sequenzen((2, 1), (3, 2), (6, 3)),((1, 4), (4, 5)), (7, 6))und((5, 7), (8, 8)).Für die Inverse π −1 = [2, 3, 6, 1, 4, 7, 5, 8] gilt D(π) = 2. Sie hat Descente in 3 und6.Aufschluss über den Zusammenhang zwischen aufsteigenden Sequenzen undDescenten gibt das folgende Lemma.