Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 632.6.2 Lemma. Gegeben sei die Situation von Satz 2.6.1. Dann giltwobei G 1,n ∈ O c( 1n)und G2,n ∈ O c (1).f n = 112c 2 + G 1,n + G 2,n , (2.6.10)Beweis. In der Situation von Satz 2.6.1 gilt nach (2.6.7) wegen f n = c √ nf 1,n mith = h n,rf n = 1 − 2h24c 2 n − 2h3 − 3h 2 + h.6c 2 n 3Wegen h = r − n erhalten wir daraus2f n = 1 − 2(r − n 2 )24c 2 n− 2(r − n 2 )3 − 3(r − n 2 )2 + (r − n 2 )6c 2 n 3= 124c 2 + 1 − 2r24c 2 n − (r − n 2 )33c 2 n 3 + 3(r − n 2 )2 − (r − n 2 )6c 2 n 3 . (2.6.11)Wir betrachten nun die einzelnen Terme in (2.6.11). Zunächst setzen wirdefG 1,n = 3(r − n 2 )2 − (r − n)26c 2 n 3defG 3,n = 1 − 2r24c 2 n .undWegen 1 ≤ r ≤ n erhalten wir G 1,n ∈ O c( 1n)und G3,n ∈ O c (1). Ferner giltwobei G 4,ndef= − 1− (r − n 2 )33c 2 n 3 = − 13c 2 ( rn − 1 2(r 3− 3r2 + 3r3c 2 n 3 2n 2 4n) 3= − 1 ( r33c 2 n − 3r23 2n + 3r2 4n − 1 8= 124c − 1 ( r32 3c 2 n − 3r23 2n + 3r )2 4n= 124c + G 4,n,2)∈ O c (1). Setzen wir nun nochG 2,ndef= G 3,n + G 4,n ,so folgt insgesamtf n = 112c + G 2 1,n + G 2,n(mit G 1,n ∈ O 1c n)und G2,n ∈ O c (1).)