Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

52 Kapitel 2 Der Riffle Shuffleergodische Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ((G n , P(G n ))) n≥1 . Die Familie(P n ) n≥1 besitzt einen Cut-Off-Effekt (in Totalvariation) mit Cut-Off-Zeiten(t n ) n≥1 , falls folgende Bedingungen erfüllt sind:(i) Es gilt t n ≥ 0 für alle n ≥ 1 und lim n→∞ t n = ∞.(ii) Für alle ε ∈ (0, 1) und m n = ⌊(1 + ε)t n ⌋ gilt lim n→∞ ‖P ∗(mn)n − U Gn ‖ = 0.(iii) Für alle ε ∈ (0, 1) und m n = ⌊(1 − ε)t n ⌋ gilt lim n→∞ ‖P ∗(mn)n − U Gn ‖ = 1.Besitzt eine Familie (P n ) n≥1 einen Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten (t n ) n≥1 , sobedeutet dies, dass die Funktion m ↦→ ‖Pn∗(m) −U Gn ‖ bis zu einem Zeitpunkt vor“ ”⌊t n ⌋ nah bei ihrem maximalen Wert von 1 bleibt. Nach dem Zeitpunkt ⌊t n ⌋ fälltsie rasch auf einen Wert nahe 0. Dieser ”Phasen-Übergang“ vollzieht sich dabeiinnerhalb eines im Vergleich zu ⌊t n ⌋ relativ kurzen Zeitraums der Größenordnungo(t n ).Aus Abschnitt 2.4.2 in [21] bzw. Abschnitt 1 in [10] erhalten wir eine weitereund zugleich striktere Definition des Cut-Off-Effekts.2.4.2 Definition. Sei (G n ) n≥1 eine Familie endlicher Gruppen und (P n ) n≥1 eineergodische Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ((G n , P(G n ))) n≥1 . DieFamilie (P n ) n≥1 besitzt einen starken Cut-Off-Effekt (in Totalvariation) mit Cut-Off-Zeiten ((t n , b n )) n≥1 , falls folgende Bedingungen erfüllt sind:(i) Es gilt t n ≥ 0, b n > 0 für alle n ≥ 1, lim n→∞ t n = ∞ und lim n→∞ b n /t n = 0.def(ii) Für alle c ∈ R und m n = ⌊t n + cb n ⌋ gilt lim n→∞ ‖Pn∗(mn) − U Gn ‖ = f(c) füreine reelle Funktion f mit lim c→∞ f(c) = 0 und lim c→−∞ f(c) = 1.In der obigen Definition kann c ∈ R auch durch j ∈ Z ersetzt werden. Ausder Definition von starkem Cut-Off-Effekt und Cut-Off-Effekt folgt unmittelbar,da ‖Pn∗(m) − U Gn ‖ monoton fallend in m ist (siehe Lemma 3.5 in [1]), dass einstarker Cut-Off-Effekt mit Cut-Off-Zeiten ((t n , b n )) n≥1 einen Cut-Off-Effekt mitCut-Off-Zeiten (t n ) n≥1 impliziert: