Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

42 Kapitel 2 Der Riffle Shufflezu (b): Wegen R(id) = 1 folgt aus Korollar 2.2.7 id ∈ supp(Q a,n ) und daherp (m)π,π = p (m)π −1 π = p(m) id= Q ∗(m)a,n ({id}) > 0für alle π ∈ S n und für alle m ∈ N. Damit ist X aperiodisch.Wir können die Aperiodizität von X auch auf andere Weise mit Hilfe von Satz1.1.3 (b) und der Ergebnisse aus Abschnitt 1.2 zeigen: Wir zeigen supp(Q a,n )⊂/ πNfür alle π ∈ S n und alle nicht-trivialen Normalteiler von S n . Mit Blick auf die Listeder Normalteiler von S n in Abschnitt 1.2 ist für n = 2 nichts zu zeigen. Für n = 3und n ≥ 5 ist A n der einzige nicht-triviale Normalteiler von S n . Es existierenσ 1 , σ 2 ∈ supp(Q a,n ) mit sgn(σ 1 ) = 1 und sgn(σ 2 ) = −1, etwa σ 1 = id und σ 2 =[1, 2] Z . Wegen sgn(ρ) = 1 für alle ρ ∈ A n und da sgn ein Gruppenhomomorphismusist, gilt jedoch für jedes π ∈ S n entweder sgn(σ) = 1 für alle σ ∈ πA n , fallssgn(π) = 1, oder sgn(σ) = −1 für alle σ ∈ πA n , falls sgn(π) = −1. Daraus folgtsupp(Q a,n )⊂/ πA n für n = 3 und n ≥ 5. Für n = 4 gilt ebenfalls sgn(σ) = 1 füralle σ ∈ V 4 bzw. A 4 . Insgesamt gilt also supp(Q a,n )⊂/ πN für alle π ∈ S n undalle nicht-trivialen Normalteiler von S n . Da X nach (a) irreduzibel ist, folgt dieAperiodizität von X also aus Satz 1.1.3 (b).2.3 Eulersche Zahlen und aufsteigende SequenzenIm vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die aufsteigenden Sequenzen derSchlüssel zur Angabe der Wahrscheinlichkeiten Q ∗(m)a,n ({π}) für π ∈ S n und m ≥ 1sind. Aufsteigende Sequenzen sind eng mit den Eulerschen Zahlen verbunden. DieseVerbindung werden wir im Folgenden aufzeigen und für verschiedene Resultatenutzen.Sei n ∈ N. Für r = 1, . . . , n bezeichnen wir die Anzahl aller Permutationen in S nmit r aufsteigenden Sequenzen mit A n,r , also A n,r = |R n,r |. Wir setzen A n,x = 0 fürx ≠ 1, . . . , n. Gegeben sei im Folgenden ein Q a,n -Random Walk X = (X m ) m≥0 . Diestochastische Folge R(X) = (R(X m )) m≥0 gibt dann die Anzahlen der Sequenzender Markov-Kette X an. Mit Korollar 2.2.6 erhalten wir die Verteilung von R(X m ),