Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 77= 1 (√ ) ( ( )n1n! exp exp O c √n2c) (= 1 n! exp (√ n2c≤ 1 n! exp (√ n2c∼ 1 n! exp (√ n2cexp)exp).− 124c − 1 2 2( )) 1O c √n exp( ( )) 1O c √n(− 16c 2 )( 14c 2 − 1c 2 n + 1c 2 n 2 ))(2.6.26)defSei h{ n = max{h ∈ In}. 2 Dann}gilt wegen h + n ∈ N für alle h ∈ I 2 2 n undIn 2 = h ∣ − n + 1 ≤ h < − 10n3/4 √2 ch n = − 10n3/4√ c− b nfür ein b n ∈ [0, 1). Damit erhalten wir nach Satz 2.3.1 mit S n > 0 P -f.s∑ 1n! A n,h+ n = ∑ (P h + n22 − 1 < S n ≤ h + n )2h∈In2 h∈In(2= P 0 < S n ≤ h n + n )(2= F n h n + n )( 2)h n= G n√ n12( ( ) √ )= G n − 10n3/4 12√ − b nc n()∼ G n − 10√ 12n 1/4√ . (2.6.27)cBayer und Diaconis [6] behaupten, dass nach Abschnitt XVI.7 in [11] die folgendeBeziehung gilt∑h∈I 2 n⎛ (1n! A n,h+ n ∼ 1210n 1/4√ 2π exp ⎝− 1 10 √ ) ⎞ 212n 1/4√ ⎠ .2 cMittels (2.6.27) gelangen wir zu einer anderen Beziehung (vergleiche (2.6.28)).Nach Lemma 2.6.7 folgt mit x ndef= 10 √ 12n 1/4 / √ c und Φ(−x) ∼ 1/(x √ 2π)e −x2 /2 ,