Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.6 Nachweis des Cut-Off-Effekts für den Riffle Shuffle 67für alle x ∈ R und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung1n! A n,⌊x n⌋ = F n (⌊x n ⌋) − F n (⌊x n ⌋ − 1)= F n (x n − a n ) − F n (x n − (1 + a n ))( √ ) (√ )1212= G n x − a n − G n x − (1 + a n )nn√12=n G′ n(y n )√√12mit x − (1 + a n ) < y 12n n < x − a n . Sei g n n die Dichte der standardisiertenZufallsgröße T n . Dann gilt G ′ n(x) = g n (x) für alle x ∈ R. Mit Hilfe einer Edgeworth-Entwicklung (Theorem 1, Abschnitt XVI.2 in [11]) erhalten wir für n → ∞( ) 1g n (x) − φ(x) = o √n (2.6.16)gleichmäßig in x. Hierbei beachten wir ET13 = 0 und die quadratische Integrierbarkeitder charakteristischen Funktion von T 1 . Daraus erhalten wirlimn→∞√ n121n! A n,⌊x n⌋ = limn→∞G ′ n(y n )= limn→∞g n (y n )= 1 √2πe −x2 /2 .zu (ii): Nach Theorem 1, Abschnitt I.9 in [11] besitzt S n+1 die Lebesque-Dichte( λ-Dichte) f n+1 mitf n+1 (x) = 1 n!⌊x⌋∑i=0(−1) i ( n + 1ifür x ∈ R. Sei − n 2 + 1 ≤ h ≤ n 2 mit h + n 2 ∈ N. Dann gilt x n(2.3.5) und (2.6.17) folgt1n! A n,x n= F n (x n ) − F n (x n − 1)= 1 ∑x n( ) n + 1(−1) i (x n − i) nn!ii=0)(x − i) n 1 (0,n+1) (x) (2.6.17)def= h + n 2≤ n und mit= f n+1 (x n ). (2.6.18)