Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

50 Kapitel 2 Der Riffle Shuffle= 1 2= 1 2n∑ ∑ ∣( )∣∣ n + 2 m − r 1n 2 − 1 ∣mn n!π∈R n,rn∑ ∣( )∣∣ n + 2 m − r 1A n,rn 2 − 1 ∣∣. (2.4.1)mn n!r=1r=1Dabei bezeichnen A n,1 , . . . , A n,n die Eulerschen Zahlen, die durchfür r = 1, . . . , n gegeben sind.∑r−1( ) n + 1A n,r = (−1) i (r − i) nii=0In Tabelle 2.2 ist der Variationsabstand von Q ∗(m)nund der GleichverteilungU Sn für die gebräuchlichen Kartenstapelgrößen n = 24, 32, 48, 52, 104 und m =1, . . . , 10 Mischvorgänge aufgelistet. Der Variationsabstand wurde mit Hilfe von(2.4.1) berechnet.m=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n=24 1.000 0.999 0.998 0.723 0.418 0.211 0.109 0.055 0.028 0.01432 1.000 1.000 0.999 0.929 0.597 0.322 0.164 0.084 0.042 0.02148 1.000 1.000 1.000 0.999 0.888 0.546 0.297 0.149 0.076 0.03852 1.000 1.000 1.000 0.999 0.924 0.614 0.334 0.167 0.085 0.043104 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.988 0.772 0.454 0.237 0.119Tabelle 2.2: ‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ für n = 24, 32, 48, 52, 104 und m = 1, . . . , 10.Für n = 52 ist der Variationsabstand von Q ∗(m)n und U Sn für m = 1, . . . , 20Mischvorgänge in Abbildung 2.6 in einem Graphen abgetragen. Es wird deutlich,dass der Variationsabstand bis zu einer Anzahl von m = 5 Mischvorgängennahe bei seinem maximalen Wert von 1 liegt. Innerhalb der nächsten vier Mischvorgängenähert er sich jedoch abrupt seinem Minimum von 0 an. Diese abrupteAnnäherung innerhalb eines relativ kurzen Zeitraums wird als Cut-Off-Effekt oderCut-Off-Phänomen bezeichnet. Ein Blick auf den aktuellen Stand der Forschung offenbart,dass es sich beim Cut-Off-Effekt tatsächlich um ein Phänomen handelt: Esist bislang nicht gelungen, anhand der Struktur des Zustandsraums und des Übergangskernseiner ergodischen Markov-Kette Bedingungen abzuleiten, unter denen