Peter Sendfeld: Riffle Shuffle und Cut-Off Effekt. Münster, März 2005.

2.5 Obere und untere Schranke für die Totalvariation 57einzelnen Karte. Die Zufallsgrößen X (1) , X (2) , . . . seien stochastisch unabhängig.Die Werte auf Karte i nach dem m-ten Mischvorgang sind dann gegeben durch dasm-Tupel y (m)i = (x (1)i , . . . , x (m)i ). Solange die Werte y (k)i und y (k)j für k ≤ m auf zweiverschiedenen Karten i und j identisch sich, befinden sich die Karten in derselbenrelativen Reihenfolge wie zu Beginn des ersten Mischvorgangs, da sie bei jedemeinzelnen Mischvorgang im selben Päckchen liegen. Wir wählen T als den erstenZeitpunkt m, zu dem die Tupel y (m)1 , . . . , y n(m) ∈ {0, 1} m bzw. die stochastisch unabhängigenund auf {0, 1} m Laplace-verteilten Zufallsgrößen Y (m)1 , . . . , Y n(m) paarweiseverschieden sind. Dann ist T f.s. endlich und eine streng stationäre Stoppzeit:Gegeben T = m sind alle Reihenfolgen X m = (π(1), . . . , π(n)), π ∈ S n des Kartenstapelsnach m Mischvorgängen gleich wahrscheinlich, da für zwei beliebigeKarten i, j aus Symmetriegründen π(i) > π(j) und π(i) < π(j) gleich wahrscheinlichsind. Die Wahrscheinlichkeit P (T > m), dass die Zufallsgrößen Y (m)1 , . . . , Y n(m)nicht paarweise verschieden sind, kann dann analog zum Geburtagsproblem“ be-”rechnet werden: Es gibt 2 m mögliche {0, 1} m -wertige m-Tupel (Geburtstage), vondiesen müssen bei n zufällig ausgewählten Tupeln (Personen) mindestens zweiübereinstimmen. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt dannn−1∏(P (T > m) = 1 − 1 − i ).2 mAldous und Diaconis zeigen in [2], dass mit k ndef= ⌊2 log 2 n⌋i=1‖Q ∗(kn)n− U Sn ‖ ≤ P (T > k n ) −→n→∞1 − e −1/2 ≈ 0, 3935gilt. Sei ⌈x⌉ die obere Gauss-Klammer von x ∈ R. Für die untere Schranke derdefTotalvariation aus Satz 2.5.1 gilt bereits mit m n = ⌈log 2 n⌉ wegen 2 mn ≥ n und∑ nr=1 A n,r = n!‖Q ∗(mn)n − U Sn ‖ ≥ 1 − 1 2∑m ∧nA n,r = 0.n!Es zeigt sich, dass die obere und untere Schranke für die Feststellung des Cut-Off-Effekts ungeeignet sind. In Tabelle 2.3 sind die Werte der Totalvariation‖Q ∗(m)n − U Sn ‖ und der oberen und unteren Schranke für n = 52 und m = 1, . . . , 10aufgelistet.r=1